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PÉRIODIQUES.

étant déterminée de manière à satisfaire à cette condition, on aura

{\begin{aligned}\mathrm {L} &=kp,\\2\mathrm {M} &=kq+{\sqrt {(q^{2}-4pr)k+4\nu }},\\2\mathrm {N} &=kq-{\sqrt {(q^{2}-4pr)k+4\nu }},\\\mathrm {O} &=kr.\end{aligned}}

Soit par exemple l’équation $0=7-14y+4y^{2},$ qui donne $p=7,q=14,r=4,{\text{ et }}q^{2}-4pr=84.$ Il faudra déterminer $k$ de manière que $84k^{2}+4,$ ou $21k^{2}+1$ soit un quarré parfait ; on trouvera d’après cela $k=12,$ et l’équation sera $0=84-168y+48y^{2}$ ou $0=84-139y-29y+48y^{2},$ d’où $\mathrm {L=84,M=139,N=29,O=48}$ et conséquemment $\mathrm {LO-MN} =+1.$

22. Étant proposée cette même équation générale du second degré $0=p-qy+y^{2},$ qui donne $2ry=q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}$ aussi bien que $2ry=q-{\sqrt {q^{2}-4pr}},$ on en tirera facilement les bases initiales, en développant en fraction-continue la fraction

{\frac {q+{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2r}}{\text{ ou }}{\frac {q-{\sqrt {q^{2}-4pr}}}{2r}}.

Connaissant ces bases, et par conséquent les médiateurs $\mathrm {L,M,N,O,}$ on peut demander les médiateurs $\mathrm {A,B,C,D} ,$ lesquels conduisent ensuite (11) aux bases périodiques $a,b,c,d,\ldots ,~;$ on aura :

\left.{\begin{aligned}\mathrm {A} &=p\mathrm {R} ^{2}-q\mathrm {PR} +r\mathrm {P} ^{2},\\\mathrm {B-C} &=2p\mathrm {RS} -q\mathrm {(PS+QR)} +2r\mathrm {PQ} ,\\\mathrm {D} &=-p\mathrm {S} ^{2}+q\mathrm {QS} -r\mathrm {Q} ^{2}\,;\end{aligned}}\right\}

^[1]

et de plus $\mathrm {BC-AD} =\nu ,$ c’est-à-dire $=+1$ ou $=-1.$

Il en résultera

\mathrm {A} =p\mathrm {R} ^{2}-q\mathrm {PR} +r\mathrm {P} ^{2},

↑ La première équation en $y$ du n.^o 14 peut être écrite comme il suit :
${\begin{aligned}0&=\mathrm {Q^{2}A-PQ(B-C)-P^{2}D} \\&-\left[2\mathrm {QSA-(PS+QR)(B-C)-2PRD} \right]y\\&+\left[\mathrm {S^{2}A-RS(B-C)-R^{2}D} \right]y^{2}.\\\end{aligned}}$

En la comparant, à $0=p-qy+ry^{2},$ il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {Q^{2}A-PQ(B-C)-P^{2}D} =p,\\2\mathrm {QSA-(PS+QR)(B-C)-2PRD} &=q,\end{aligned}}$

[p291-1] La première équation en $y$ du n.^o 14 peut être écrite comme il suit :
${\begin{aligned}0&=\mathrm {Q^{2}A-PQ(B-C)-P^{2}D} \\&-\left[2\mathrm {QSA-(PS+QR)(B-C)-2PRD} \right]y\\&+\left[\mathrm {S^{2}A-RS(B-C)-R^{2}D} \right]y^{2}.\\\end{aligned}}$

En la comparant, à $0=p-qy+ry^{2},$ il viendra

${\begin{aligned}\mathrm {Q^{2}A-PQ(B-C)-P^{2}D} =p,\\2\mathrm {QSA-(PS+QR)(B-C)-2PRD} &=q,\end{aligned}}$

[1]