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FRACTIONS-CONTINUES

et ainsi des autres. Les médiateurs sont ici

{\begin{array}{ll}\mathrm {(AE)} \ \ \ =\qquad \,\ \ 5,&\mathrm {(BE)} \ \ \ =\,\qquad 2,\\{\underline {\mathrm {(AF)} \ \ \ =\qquad \ 62,}}&{\underline {\mathrm {(BF)} \ \ \ =\quad \ \ \ 25,}}\\\mathrm {(AE')} \ \ =\,\quad \ \ \ 320,&\mathrm {(BE')} \ \ =\,\quad \ 129,\\{\underline {\mathrm {(AF')} \ \ =\quad \ \ 3969,}}&{\underline {\mathrm {(BF')} \ \ =\quad 1600,}}\\\mathrm {(AE'')} \ =\,\quad 20485,&\mathrm {(BE'')} \ =\,\quad 8258,\\{\underline {\mathrm {(AF'')} \ =\ \ \ 254078,}}&{\underline {\mathrm {(BF'')} \ =\ 102428,}}\\\mathrm {(AE''')} =\,\ 1311360,&\mathrm {(BE''')} =\,\ 528641,\\{\underline {\mathrm {(AF''')} =16264961,}}&{\underline {\mathrm {(BF''')} =6556800.}}\end{array}}

Ainsi les nombres qui rendent quarrée l’expression $41y^{2}-1$ sont $5,20485,\ldots ,$ et les racines correspondantes sont $32,131168,\ldots ,$ et ceux qui rendent quarrée l’expression $41y^{2}+1$ sont $320,1311360,\ldots ,$ et les racines correspondantes sont $2049,8396801,\ldots .$

Cette marche doit être suivie, toutes les fois que, dans le développement de la racine de $m$ , on parvient à un nombre impair de bases périodiques ; et l’on voit que notre méthode donne, non-seulement la solution de l’équation $my^{2}+1=z^{2},$ mais encore celle de l’équation $my^{2}-1=z^{2},$ toutes les fois, du moins, que cette dernière est possible en nombres entiers.

Exemple V. Déterminer les valeurs de $y$ qui peuvent rendre quarrée l’expression $13y^{2}+1~?$

On a ici

\alpha =3,\quad a=1,\quad b=1,\quad c=1,\quad d=1,\quad e=6.

Le nombre des bases est ici impair ; mais, en le doublant, il devient pair, et on a alors

{\begin{aligned}\mathrm {M} &=-3\mathrm {(AE)+(AF)} ,\\\mathrm {N} &=-3\mathrm {(AE)-(BE)} ,\\\mathrm {O} &=-\mathrm {(AE)} ~;\\\end{aligned}}

les médiateurs sont ensuite

{\begin{array}{rrrr}\mathrm {(AE)} =&5,&\mathrm {(BE)} =&3,\\\mathrm {(AF)} =&33,&\mathrm {(BF)} =&20,\end{array}}