Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/285

275

PÉRIODIQUES.

${\begin{array}{ll}(\alpha \mathrm {E'''} )=71,&(\beta \mathrm {E'''} )=41,\\(\alpha \mathrm {F'''} )=97,&(\beta \mathrm {F'''} )=56,\end{array}}$

on aurait alors $y=\mathrm {O} =(\beta \mathrm {F} )-(\beta \mathrm {E} )~;$ ce qui, appliqué aux cas particuliers, conduit aux nombres précédemment obtenus, savoir : $1,4,15,56,\ldots$.

Les racines correspondantes seraient comprises sous la formule générale $2(\beta \mathrm {E} )-(\beta \mathrm {F} )~;$ ce qui donnerait, comme ci-dessus, les nombres $2,7,26,97,\ldots$

Exemple II. Déterminer les valeurs entières de $y$ qui peuvent rendre quarrée l’expression $7y^{2}+1~?$

On a ici $m=7,$ d’où

${\sqrt {m}}={\sqrt {7}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}~;$

ce qui donne

$\alpha =2,\quad a=1,\quad b=1,\quad c=1,\quad d=4~;$

en employant les formules du n.^o 14, on trouve

${\begin{aligned}\mathrm {M} &=-2\mathrm {(AE)-(AF)} ,\\\mathrm {N} &=-2\mathrm {(AE)-(BE)} ,\\\mathrm {O} &=-\mathrm {(AE)} .\\\end{aligned}}$

On a, en outre, la suite des médiateurs

${\begin{array}{ll}\mathrm {(AE\ \ )} =\,\quad 0,&\mathrm {(BE\ \ )} =\,\quad 1,\\{\underline {\mathrm {(AF\ \ )} =\,\quad 1,}}&{\underline {\mathrm {(BF\ \ )} =\,\quad 1,}}\\\mathrm {(AE'\ )} =\,\quad 3,&\mathrm {(BE'\ )} =\,\quad 2,\\{\underline {\mathrm {(AF'\ )} =\,\ \ \ 14,}}&{\underline {\mathrm {(BF'\ )} =\,\quad 9,}}\\\mathrm {(AE'')} =\,\ \ \ 48,&\mathrm {(BE'')} =\,\ \ \ 31,\\{\underline {\mathrm {(AF''\,)} =\ 223,}}&{\underline {\mathrm {(BF''\,)} =\ 144,}}\\\mathrm {(AE''')} =\ 765,&\mathrm {(BE''')} =\ 494,\\\mathrm {(AF''')} =3554,&\mathrm {(BF''')} =2295\,;\end{array}}$

les valeurs consécutives de $y$ sont celles de O, savoir $1,3,48,765,\ldots$, et les valeurs correspondantes de la racine quarrée de $7y^{2}+1$ sont celles de $\mathrm {M}$ ou de $\mathrm {-N} ,$ c’est-à-dire, $1,8,127,2024\ldots$