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FRACTIONS-CONTINUES

$a+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{e+{\cfrac {1}{f+\ldots }}}}}}}}}}$

reçoit successivement les expressions littérales qui suivent, selon qu’on s’arrête à la première base, à la seconde, à la troisième, …, savoir :

à la première $\dots a$ ou $\mathrm {(A)} :1$ ;

à la seconde $\dots \ldots \ \ \mathrm {(AB):(B)}$ ;

à la troisième $\dots \dots \ \mathrm {(AC):(BC)}$ ;

à la quatrième $\dots \dots \mathrm {(AD):(BD)}$ ;

à la cinquième $\dots \dots \mathrm {(AE):(BE)}$ ;

et ainsi des autres.

10. Nous appellerons fractions-continues périodiques celles dans lesquelles, après un certain nombre de bases initiales qui ne sont soumises à aucune loi, on remarque, parmi les suivantes, une périodicité constante, revenant sans cesse à l’infini : telle serait, par exemple, la fraction-continue

$\alpha +{\cfrac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{a+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{a+{\cfrac {1}{b+\cdots }}}}}}}}}}}}$

Ici l’on remarque d’abord les bases $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ qui peuvent être des nombres quelconques ; viennent ensuite les bases périodiques $a$ et $b,$ lesquelles sont supposées se reproduire constamment à l’infini. Nous nommerons tête de la fraction, la partie par laquelle elle commence, et qui fait exception à la loi de la période ; elle sera comptée inclusivement jusqu’à la base après laquelle la période devient sensible. Les bases qui composent la tête de la fraction seront nommées bases initiales, et nous les désignerons par les lettres de l’alphabet grec ; tandis que les lettres de l’alphabet latin seront réservées pour désigner les bases périodiques.

11. Pour fixer les idées, supposons que les bases initiales aussi