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FRACTIONS-CONTINUES

2. D’après cette convention, pour désigner un médiateur quelconque, il suffira d’indiquer, parmi ses bases, la première et la dernière, en sous-entendant les intermédiaires qui seront censées se succéder de l’une à l’autre, suivant l’ordre alphabétique, et sans omission d’aucune.

Ainsi, par exemple, pour désigner le médiateur qui a, pour les première et dernière de ses bases, celles qui sont marquées par les lettres $h$ et $m$ , nous écrirons simplement $\mathrm {(HM)}$ , et cette notation sera équivalente à

hiklm+him+hlm+klm+hik+h+k+m.

Nous substituerons des lettres majuscules aux autres, pour prévenir l’équivoque, et nous enfermerons le tout entre deux parenthèses.

3. Tout médiateur, tel que $\mathrm {(AN)}$ , sera donc déterminé par les deux $\mathrm {(AM)}$ et $\mathrm {(AL)}$ qui le précèdent, moyennant la formule suivante, que l’on peut regarder comme fondamentale, et tenant lieu de définition.

\mathrm {(AN)} =n\mathrm {(AM)+(AL)}

^[1].

↑ Quelque facile qu’il puisse paraître, d’après ce principe, de déduire les uns des autres les médiateurs $\mathrm {(AB),(AC),(AD)}$ , … ; cependant, lorsqu’on n’a besoin que du dernier, et que le nombre des bases est considérable, l’obligation d’écrire tous les médiateurs qui précèdent celui qu’on cherche, peut entraîner des longueurs, et doit faire désirer quelque méthode au moyen de laquelle on puisse directement écrire un médiateur quelconque, dont les bases sont données, sans que préalablement il soit nécessaire d’en former aucun autre ; c’est à quoi l’on peut facilement parvenir, au moyen des observations suivantes :
1.^o Tout médiateur ne doit renfermer que des termes de dimensions paires seulement ou des termes de dimensions impaires seulement, suivant que le nombre de ses bases est lui-même pair ou impair ; de sorte qu’en général, n représentant le nombre de ces bases, les termes du médiateur seront successivement de $n,n-2,n-4,\dots n-2k$ , …, dimensions ; cette suite se terminant à zéro dimensions ou à une dimension, suivant que $n$ est pair ou impair.

2.^o Tout médiateur n’a jamais qu’un terme unique de $n$ dimensions, lequel est le produit de toutes ses bases. Si $n$ est pair, le médiateur n’aura pareillement qu’un terme unique de zéro dimensions, et ce terme sera l’unité.

[p272-1] Quelque facile qu’il puisse paraître, d’après ce principe, de déduire les uns des autres les médiateurs $\mathrm {(AB),(AC),(AD)}$ , … ; cependant, lorsqu’on n’a besoin que du dernier, et que le nombre des bases est considérable, l’obligation d’écrire tous les médiateurs qui précèdent celui qu’on cherche, peut entraîner des longueurs, et doit faire désirer quelque méthode au moyen de laquelle on puisse directement écrire un médiateur quelconque, dont les bases sont données, sans que préalablement il soit nécessaire d’en former aucun autre ; c’est à quoi l’on peut facilement parvenir, au moyen des observations suivantes :
1.^o Tout médiateur ne doit renfermer que des termes de dimensions paires seulement ou des termes de dimensions impaires seulement, suivant que le nombre de ses bases est lui-même pair ou impair ; de sorte qu’en général, n représentant le nombre de ces bases, les termes du médiateur seront successivement de $n,n-2,n-4,\dots n-2k$ , …, dimensions ; cette suite se terminant à zéro dimensions ou à une dimension, suivant que $n$ est pair ou impair.

2.^o Tout médiateur n’a jamais qu’un terme unique de $n$ dimensions, lequel est le produit de toutes ses bases. Si $n$ est pair, le médiateur n’aura pareillement qu’un terme unique de zéro dimensions, et ce terme sera l’unité.

[1]