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RÉSOLUES.

Solution du problème de la page 160 de ce volume.

Par M. Gergonne.

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Énoncé. Déterminer ce qu’il faut substituer à la place des cinq coefficiens différentiels partiels

${\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=p,\quad {\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=q,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}=r,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}=s,\quad {\tfrac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y^{2}}}=t$

dans une fonction ou une équation qui les renferme, lorsqu’on passe de l’hypothèse où $z$ est fonction de $x$ et $y,$ à celle où $x,y,z,$ sont toutes trois fonctions de deux nouvelles variables indépendantes $u$ et $v$ ?

Solution. Les formules demandées sont plus compliquées que difficiles à construire, et c’est sans doute pour cette raison qu’aucun géomètre ne s’est occupé de leur recherche. Néanmoins, comme ces formules peuvent être utiles dans plusieurs rencontres, je vais suppléer, à leur égard, à l’espèce d’omission que présentent les traités de calcul différentiel.

Par l’intermédiaire de $x$ et $y,$ la variable subordonnée $z$ pouvant tout aussi bien être considérée comme fonction de $u$ et $v$ que comme fonction de $x$ et $y,$ on doit avoir à la fois

$\operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y,\quad \operatorname {d} z={\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} u}}\operatorname {d} u+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} v}}\operatorname {d} v$ ;

et par conséquent,

$p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y={\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} u}}\operatorname {d} u+{\tfrac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} v}}\operatorname {d} v$ ;