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RÉSOLUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

D’après la manière dont on vient de voir que se construisent les points $\mathrm {S_{1},\;S_{2},\;S_{3}} ,\ldots$, on trouvera facilement pour leurs équations, savoir :

${\text{pour }}\mathrm {S_{1}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{0}\right\}c=0,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{0}\right\}d=0;\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {S_{2}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{1}\right\}c,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{1}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {S_{3}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{2}\right\}c,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{2}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

et en général

${\text{pour }}\mathrm {S_{k}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}\right\}c,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

De même, d’après la manière dont a vu que se construisent les points $\mathrm {P_{1},\;P_{2},\;P_{3}}$, …, on trouvera facilement pour leurs équations, savoir :

${\text{pour }}\mathrm {P_{1}} \left\{{\begin{array}{ll}x=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{0}a+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{0}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{0}\right\}c,\\y=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{0}b+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{0}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{0}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {P_{2}} \left\{{\begin{array}{ll}x=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{1}a+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{1}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{1}\right\}c,\\y=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{1}b+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{1}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{1}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {P_{3}} \left\{{\begin{array}{ll}x=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{2}a+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{2}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{2}\right\}c,\\y=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{2}b+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{2}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{2}\right\}d;\\\end{array}}\right.$