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cherchée ne saurait être une courbe continue ; mais qu’elle doit être formée d’autant de branches de courbes, tangentes les unes aux autres, à la manière des anses de paniers, qu’il y a d’angles dans le polygone proposé. Si, en effet, on conçoit que, sans changer la grandeur et l’inclinaison respective de deux côtés consécutifs de ce polygone, on altère d’ailleurs sa figure d’une manière quelconque, il n’y aura absolument rien de changé dans la portion de courbe inscrite à l’angle formé par ces deux côtés. Si donc le cours de la courbe pouvait être continu, il en résulterait que plusieurs courbes continues pourraient avoir une partie finie commune, ce qu’on sait être impossible.

Il n’est pas plus difficile d’apercevoir que les points de contacts de la courbe cherchée, tant avec les côtés du polygone primitif qu’avec les côtés des autres polygones dont elle est la limite commune, sont les milieux même de ces côtés.

D’après ces diverses observations, on voit qu’il suffira, pour notre but, de considérer ce qui se passe dans l’un des angles du polygone proposé.

Soit donc , l’angle dont il s’agit (fig.7) ; soit , le milieu de soit fait et soit mené dont soit le milieu ; soit porté de  ; soit fait , et soit mené dont  ; soit porté de  ; soit fait et soit mené dont soit le milieu ; en poursuivant continuellement le même procédé , … seront des côtés de polygones et leurs milieux , … seront conséquernment des points de la courbe cherchée.

Cela posé, soit pris le point pour origine des coordonnées rectangulaires auxquelles, pour plus de symétrie, nous supposerons d’ailleurs une direction quelconque ; soient et les coordonnées de et et celles de .