Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/25

21

LOGARITHMIQUES.

nômes $u$ et $t$. Mais ces derniers termes étant respectivement les produits des quantités $x+a,x+b,x+c,etc.;x+\alpha ,x+\beta ,x+\gamma ,etc.,$ dépendent eux-mêmes des valeurs qu’on donne à ces lettres ; donc, pour rendre la série $T+{\tfrac {1}{3}}T^{3}+{\tfrac {1}{5}}T^{5}+{\tfrac {1}{7}}T^{7}+etc.,$ aussi convergente qu’il est possible, il faut choisir pour les lettres $a,b,c,etc.;\alpha ,\beta ,\gamma ,etc.,$ le système de valeurs qui rend la différence $S-\Sigma$ aussi petite qu’elle peut l’être, sans nuire à la forme des polynômes $u$ et $t$.

Quant au dénominateur qui est variable, on voit qu’il sera d’autant plus grand que le degré des polynômes $u$ et $t$, sera plus élevé, et en même temps que le nombre $x$, et par conséquent aussi les nombres $x+a,x+b,x+c,etc.;x+\alpha ,x+\beta ,x+\gamma ,etc.,$ seront plus grands. Donc, la convergence de la série dépend encore du degré de la formule et de la grandeur du nombre dont on veut avoir la logarithme.

Il est aisé de voir que les polynômes $u$ et $t$, ne sont autre chose que les premiers membres de deux équations qui ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme, et qui ont en outre leurs racines commensurables. C’est donc de la recherche de semblables équations, que nous devons d’abord nous occuper ; nous parlerons ensuite des formules qui s’en déduisent, et de la manière de les employer.

PREMIÈRE PARTIE.

Des équations qui, ayant leurs racines commensurables, ne diffèrent
entre elles que par leur dernier terme.

4. Deux équations, qui n’ont de différence que dans leur dernier terme, peuvent être telles que ce dernier terme soit zéro dans l’une, et une quantité effective dans l’autre, ou telles que le dernier terme soit dans l’une et dans l’autre une quantité effective. Dans le premier cas, $X^{m}$ représentant une fonction de $x$ qui devient nulle en même temps que $x$, si l’une des équation est $X^{m}+h=0$, l’autre sera