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SURFACES.

équation cherchée, que l’on vérifiera aisément par la discussion.

On obtiendrait une équation toute différente, si, sous la même projection, on supposait, au second axe de l’ellipsoïde, une autre valeur que celle que nous lui avons assignée.

13. Supposons que la même projection de la figure 1.^re appartienne à un ellipsoïde incliné sur les trois plans coordonnés, tel que son plan-diamètre, parallèle à l’axe des $y,$ fasse, avec le plan des $xy,$ un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à ½ et passe sur l’axe des $z$ à une hauteur égale à l’unité, l’équation de ce plan sera :

$z={\tfrac {1}{2}}x+1$ ;

celle de la surface sera donc de la forme

$z={\tfrac {1}{2}}x+1\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-xy+{\tfrac {1}{4}}x^{2}-6x+8)}}$.

et, le second axe étant encore supposé égal à 2, on aura, comme précédemment

$\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} =-1$,

ce qui donnera définitivement pour l’équation cherchée

$z={\tfrac {1}{2}}x+1\pm {\sqrt {-(y^{2}-xy+{\tfrac {1}{4}}x^{2}-6x+8)}}$,

ou

$4z^{2}-4zx-4xy+4y^{2}+6x^{2}-8z-20x+36=0$.

14. Soit le point conjugué $\mathrm {O}$ (fig. 2), considéré comme le résultat de la contraction totale d’un ellipsoïde situé au-dessous du plan des $xy,$ et projeté sur ce plan au point $\mathrm {O'}$ ; soit le plan-diamètre passant par les points $\mathrm {D,E,F,}$ de telle sorte que l’on ait

$\mathrm {AD=1,\quad AE=2,\quad AF=1}$ ;

soient enfin

$\mathrm {AC=2,\quad CO'=3}$,

le plan-diamètre aura pour équation :

$z=-{\tfrac {1}{2}}y-x+1$ ;