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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

$2k+1$ étant toujours un nombre impair positif ; mais, à cause de $\mathrm {A} <180^{\circ },\quad B<180^{\circ },\quad C<180^{\circ }$, on a $\mathrm {A+B+C} <3\cdot 180^{\circ }$, et conséquemment $2k+1<3$, d’où $k=0$ et, par suite,

$\mathrm {A+B+C=180^{\circ }}$ ;

il serait donc démontré par là, si déjà on ne le savait, que, dans tout triangle rectiligne, la somme des trois augles vaut deux angles droits, et est par conséquent une quantité constante ; et c’est à cela, comme on le voit, que tient l’impossibilité de déterminer les côtés d’un tel triangle, par la seule connaissance des trois angles.

26. Si, comme il paraît plus naturel de le faire, on suppose antérieurement connu le théorème qui vient d’être démontré, on pourra, en le combinant avec l’équation de relation, en déduire une autre proposition beaucoup moins élémentaire. De l’équation

$\mathrm {A+B+C=180^{\circ }}$ ;

on tire, en effet,

$\mathrm {C=180^{\circ }-(A+B)} \quad {\text{d’où}}\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {C} =-\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)}$ ;

mais on a ( art. 25 )

$\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =-(\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} \pm \operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B} )$;

donc

$\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)} =\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} \pm \operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$;

or, on ne peut avoir

$\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)} =\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} +\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$;

puisqu’en faisant $A=90^{\circ }$ et supposant $\mathrm {B} <90^{\circ }$, il viendrait

$\operatorname {Cos} .\mathrm {(90^{\circ }+B)} =\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$,

équation qui ne peut être admise, puisque $\operatorname {Cos} .\mathrm {(90^{\circ }+B)}$ doit être négatif, et que $\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$ ne l’est pas ; on a donc uniquement

$\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)} =\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} -\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$.

De là on conclura facilement

$\operatorname {Cos} .\mathrm {(A-B)} =\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} +\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$;