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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

premier degré, entre un nombre égal d’inconnues, et on pourrait prouver que le même caractère d’indétermination se manifeste aussi, dans les problèmes des degrés supérieurs au premier.

23. Nous allons maintenant appliquer les principes qui viennent d’être développés aux trois équations

$x=bz+cy,\quad y=cx+az,\quad z=ay+bx;$

En les écrivant ainsi :

$x-cy-bz=0,\quad -cx+y-az=0,\quad -bx-ay+z=0$ ;

et les comparant à celles de l’art. 6, on aura

${\begin{array}{lll}a=1&,\quad b=-c&,\quad c=-b;\\a'=-c&,\quad b'=1&,\quad c'=-a;\\a''=-b&,\quad b''=-a&,\quad c''=1;\\\end{array}}$

en conséquence, la fonction

$ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''$,

deviendra

$1-a^{2}-b^{2}-c^{2}-2abc$ ;

suivant donc que cette fonction sera ou ne sera pas zéro, le problème sera ou ne sera pas indéterminé.

Si cette fonction n’est zéro qu’à cause des relations particulières

$a+bc=0,\quad b+ac=0,\quad 1-c^{2}=0$ ;

les deux premières équations seront équivalentes. Ce sera la première et la troisième qui le seront, si l’on a

$c+ab=0,\quad a+bc=0,\quad 1-b^{2}=0$ ;

et ce sera la seconde et la troisième, si l’on a

$b+ac=0,\quad c+ab=0,\quad 1-a^{2}=0$ ;

Si ces relations ont toutes lieu à la fois, les trois équations n’équivaudront qu’à une seulement ; et si aucune d’elles n’a lieu, et que cependant on ait

$1-a^{2}-b^{2}-c^{2}-2abc=0$,