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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

diatement recours aux formules générales, on trouvera pour chacune d’elles, ainsi que nous venons de le voir ${\frac {0}{0}}$ ; mais si, au contraire, dans la vue d’obtenir une équation finale ne renfermant plus qu’une seule inconnue, on procède à l’élimination, on arrivera à l’équation finale 0=0.

En effet, puisque des deux équations

$ax+by+c=0,\quad a'x+b'y+c'=0$,

on déduit

$x=-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}}$ ;

il s’ensuit que l’équation finale $x,$ résultant de l’élimination de $y$ entre ces deux équations, est

$(ab'-ba')x+(cb'-bc')=0$ ;

équation qui devient $0=0,$ lorsqu’on a $ab'-ba'=0,\quad cb'-bc'=0$ ; c’est-à-dire, lorsque le problème est indéterminé.

Pareillement, puisque des trois équations

$ax+by+cz+d=0,\ a'x+b'y+c'z+d'=0,\ a''x+b''y+c''z+d''=0~;$

on déduit

$x=-{\frac {db'c''-dc'b''+cd'b''-bd'c''+bc'd''-cb'd''}{ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}}$,

il s’ensuit que l’équation finale en $x,$ résultant de l’élimination de $y$ et $z$ entre ces trois équations, est

$(ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a'')x$

$+(db'c''-dc'b''+cd'b''-bd'c''+bc'd''-cb'd'')=0$ ;

équation qui devient aussi $0=0,$ lorsqu’on a, à la fois,

$ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''=0$,

$db'c''-dc'b''+cd'b''-bd'c''+bc'd''-cb'd''=0$ ;

c’est-à-dire, lorsque le problème est indéterminé.

Il en serait de même pour un plus grand nombre d’équations du