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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

$(ad'-da')c''+(dc'-cd')a''+(ca'-ac')d''=0$,

$(cd'-dc')b''+(db'-bd')c''+(bc'-cb')d''=0$,

relations qu’on peut encore écrire ainsi

$(da''-ad'')c'+(cd''-dc'')a'+(ac''-ca'')d'=0$,

$(dc''-cd'')b'+(bd''-db'')c'+(cb''-bc'')d'=0$,

ou de cette autre manière

$(a'd''-d'a'')c+(d'c''-c'd'')a+(c'a''-a'c'')d=0$,

$(c'd''-d'c'')b+(d'b''-b'd'')c+(b'c''-c'b'')d=0$,

or, nous savons aussi ( art. 11 ) qu’alors les équations proposées tombent au moins dans le cas d’indétermination où elles n’équivalent qu’à deux seulement ; et, si l’on n’a uniquement que ces relations, chacune d’elles sera comportée par les deux autres ; mais si l’on a

$ad'-da'=0,\quad bd'-db'=0,\quad cd'-dc'=0$,

ce qui emportera aussi

$ab'-ba'=0,\quad bc'-cb'=0,\quad ca'-ac'=0$ ;

ou si l’on a

$ad''-da''=0,\quad bd''-db''=0,\quad cd''-dc''=0$ ;

ce qui emportera aussi

$ab''-ba''=0,\quad bc''-cb''=0,\quad ca''-ac''=0$ ;

ou, enfin, si l’on a

$a'd''-d'a''=0,\quad b'd''-d'b''=0,\quad c'd''-d'c''=0$ ;

ce qui emportera aussi

$a'b''-b'a''=0,\quad b'c''-c'b''=0,\quad c'a''-a'c''=0$ ;

il arrivera que deux équations seulement seront équivalentes, savoir : la première et la seconde, dans le premier cas ; la première et la troisième, dans le second ; et la seconde et la troisième dans le dernier.

Enfin, si l’on a, à la fois,

${\begin{array}{lll}ad'-da'=0&,\quad bd'-db'=0&,\quad cd'-dc'=0,\\a'd''-d'a''=0&,\quad b'd''-d'b''=0&,\quad c'd''-d'c''=0;\\\end{array}}$

ce qui emportera aussi

${\begin{array}{lll}a'd''-d'a''=0&,\quad b'd''-d'b''=0&,\quad c'd''-d'c''=0\,:\\\end{array}}$