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FORMULES.
ANALISE INDÉTERMINÉE.
Recherche systématique des formules les plus propres
à calculer les logarithmes ;
Par M. Thomas Lavernède.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
I. On sait que,
et
représentant deux nombres quelconques, et
étant plus grand que
, on a
![{\displaystyle \operatorname {Log} {\tfrac {u}{t}}=2M\left\{{\tfrac {u-t}{u+t}}+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{3}+{\tfrac {1}{5}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{5}+{\tfrac {1}{7}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{7}+etc.\right\}\ldots \mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec84d2052177747c5f25c281a0aef5d77bafd60e)
formule toujours convergente, et dans laquelle
représente le module.[1]
2. Si, dans cette formule, on met à la place de
et
des polynômes en
du degré
qui, ne différant entre eux que par leur dernier terme, soient décomposables en facteurs rationnels du premier degré, ayant tous
pour premier terme ; c’est-à-dire, si l’on fait
![{\displaystyle u=x^{m}+Px^{m-1}+\ldots +Rx+S=(x+a)(x+b)\ldots (x+l),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f031c87df2c2892ae269b6d6506114ed5321c2f)
et
![{\displaystyle t=x^{m}+Px^{m-1}+\ldots +Rx+\Sigma =(x+\alpha )(x+\beta )\ldots (x+\lambda ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee4fb4c39e6812d2c95836b6ce644bd9089420a)
on aura
![{\displaystyle u-t=S-\Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2848b8308b0a2d4239fb00311dd15d2ee684f4)
,
- ↑ Voyez le complément d’algèbre de M. Lacroix.