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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

$ma=a',\quad \quad mb=b',\quad mc=c',\quad md=d'$ ;

desquelles éliminant $m$, on aura :

$ad'-da'=0,\quad bd'-db'=0,\quad cd'-dc'=0$ ;

Et telles sont les relations nécessaires entre les quantités connues $a,b,c,d,a',b',c',d',$ pour que les deux premières des trois équations proposées ne soient pas essentiellement différentes l’une de l’autre, et par conséquent n’équivalent qu’à une seule ; ce qui réduit les trois équations proposées à deux, savoir : la troisième et l’une quelconque des deux premières, et rend ainsi le problème indéterminé.

De ces relations on déduit aisément les trois suivantes :

$ab'-ba'=0,\quad bc'-cb'=0,\quad ca'-ac'=0$ ;

dont chacune peut remplacer une quelconque des trois premières ; et, comme les valeurs générales des inconnues $x,y,z,$ peuvent être mises sous cette forme :

${\begin{aligned}x&=-{\frac {(bc'-cb')d''+(cd'-dc')b''+(db'-bd')c''}{(bc'-cb')a''+(ca'-ac')b''+(ab'-ba')c''}},\\y&=-{\frac {(dc'-cd')a''+(ca'-ac')d''+(ad'-da')c''}{(bc'-cb')a''+(ca'-ac')b''+(ab'-ba')c''}},\\z&=-{\frac {(bd'-db')a''+(da'-ad')b''+(ab'-ba')d''}{(bc'-cb')a''+(ca'-ac')b''+(ab'-ba')c''}},\\\end{aligned}}$

on voit qu’elles deviennent, dans ce cas,

$x={\frac {0}{0}},\quad y={\frac {0}{0}},\quad z={\frac {0}{0}}$.

9. Réciproquement, si l’on a les trois relations

$ad'-da'=0,\quad bd'-db'=0,\quad cd'-dc'=0$ ;

lesquelles ; comme nous venons de le voir, emportent les trois suivantes,

$ab'-ba'=0,\quad bc'-cb'=0,\quad ca'-ac'=0$ ;