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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

mais encore par une infinité d’autres, représentées par les symboles

$x={\frac {0}{0}},\qquad y={\frac {0}{0}}$ ;

ce dernier cas se rapporte toujours, au surplus, au cas unique examiné (art. 2) ; il est clair, en effet, qu’on a alors :

$b'(ax+by)+b(a'x+b'y)=0$^[1].

6. Soient maintenant, entre les trois inconnues x, y, z, les trois équations complètes du premier degré

${\begin{aligned}a\ \,x+b\ \,y+c\ \,z+d\ \,&=0,\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'\,&=0,\\a''x+b''y+c''z+d''&=0;\\\end{aligned}}$

on sait qu’elles donnent, étant résolues,

$x=-{\tfrac {db'c''-dc'b''+cd'b''-bd'c''+bc'd''-cb'd''}{ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}}$,

$y=-{\tfrac {ad'c''-ac'd''+ca'd''-da'c''+dc'a''-cd'a''}{ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}}$,

$z=-{\tfrac {ab'd''-ad'b''+da'b''-ba'd''+bd'a''-db'a''}{ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''}}$,

et ce que nous nous proposons ici est de savoir dans quels cas le problème qui aura conduit à ces équations demeurera indéterminé.

7. Or, il est clair que, pour cela, il faut que les trois équations n’expriment pas trois conditions distinctes ; c’est-à-dire, qu’il faut qu’elles n’équivalent qu’à deux, ou à une seulement ; ce qui fait deux cas qu’il importe extrêmement de ne pas confondre.

Les trois équations peuvent se réduire à deux de deux manières, savoir : 1.^o si l’une d’entre elles ne diffère de l’une des deux autres

1. Ces deux cas répondent également, en géométrie, à celui où deux droites tracées sur un même plan passent l’une et l’autre par l’origine des coordonnées ; avec cette différence que, dans le premier elles ne se confondent pas, et que dans le second elles se confondent.