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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

Or, de ces relations on déduit encore celle-ci,

$ab'-a'b=0$,

qui peut remplacer une quelconque des deux premières ; et, en vertu des unes et des autres, les valeurs générales des inconnues deviennent

$x={\frac {0}{0}},\qquad y={\frac {0}{0}}$.

3. Réciproquement, si l’on a les deux relations

$ac'-ca'=0,\qquad bc'-cb'=0$ ;

lesquelles, comme nous venons de le voir, emportent la suivante :

$ab'-ba'$,

et réduisent conséquemment à ${\frac {0}{0}}$ les valeurs des inconnues ; il arrivera que l’une des équations sera le produit de l’autre par un certain multiplicateur, qu’on pourra supposer pour la première et pour la seconde ; en effet, si l’on écrit l’équation

$a'x+b'y+c'={\frac {c'}{c}}(ax+by+c)$,

elle deviendra, en chassant le dénominateur et transposant,

$(ac'-ca')x+(bc'-cb')y=0$ ;

équation qui, d’après les relations ci-dessus, se réduit à $0=0$.

Et, comme les valeurs de $x$ et $y$ ne peuvent prendre la forme ${\frac {0}{0}}$ qu’autant que ces relations existent, on doit en conclure que, lorsqu’elles prennent cette forme, on se trouve nécessairement dans le cas que nous venons d’examiner.

4. Si l’on fait $m=-{\frac {\lambda }{\lambda '}}$, les équations de condition prendront cette forme symétrique :

$\lambda a+\lambda 'a'=0,\qquad \lambda b+\lambda 'b'=0,\qquad \lambda c+\lambda 'c'=0$ ;