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TRIANGLES SPHÉRIQUES.

donc $\quad \quad \operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'}$,

et $\qquad \quad 1-\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} -\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'}$,

ou $\qquad \quad \operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} -\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'}$,

or $\qquad \qquad \mathrm {C'=A-B'}$ ;

d’où $\qquad \quad \operatorname {Cos} .\mathrm {C'} -\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} =\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B'}$ ;

donc, enfin, $\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'}$.

$\mathrm {C.\,Q.\,F.\,D.}$

Corollaire. L’application aux triangles rectilignes a lieu en substituant aux sinus de $\mathrm {A}$ de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {B'}$ ces quantités elles-mêmes ; et en substituant l’unité au cosinus de $\mathrm {C'}$.

THÉORÈME III. Dans tout triangle sphérique rectangle, les quarrés des sinus des côtés sont entre eux comme les sinus des doubles des segmens adjacens.

Tout étant comme précédemment,

J’affirme que $\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {C} =\operatorname {Sin} .2\mathrm {B'} :\operatorname {Sin} .2\mathrm {C'}$.

Démonstration.

Puisque (Théorème II.) $\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'}$,

${\begin{array}{lrl}{\text{on doit avoir }}&\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .\mathrm {A} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ,\\{\text{et pareillement }}&\operatorname {Sin} .\mathrm {A} :\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {C} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} :\operatorname {Sin} .\mathrm {C'} ;\\{\text{donc }}&\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {C} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} \operatorname {Cos} .\mathrm {B'} :\operatorname {Sin} .\mathrm {C'} \operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ,\\{\text{ou enfin }}&\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} ^{2}\mathrm {C} &=\operatorname {Sin} .2\mathrm {B'} :\operatorname {Sin} .2\mathrm {C'} .\\\end{array}}$

$\mathrm {C.\,Q.\,F.\,D.}$

Corollaire. L’application aux triangles rectilignes a lieu, en substituant aux sinus des côtés et des doubles segmens, les côtés et les doubles segmens eux-mêmes.

THÉORÈME IV. Dans tout triangle sphérique rectangle, le quarré du sinus de la hauteur est au produit des sinus des seg-