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RECTANGLES.

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} &=\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} -2\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \;\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \;\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} ;\\&=\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \;\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \;\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} {\text{ (Théorème I.)}};\\\end{aligned}}$

de là :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \;\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \;\operatorname {Cos} .x&=\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} (1-\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} )+\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} (1-\operatorname {Cos} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} );\\&=\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \;\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} .\\\end{aligned}}$

donc $\qquad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .x=\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \;\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C}$.

Savoir. Dans tout triangle sphérique rectangle, le produit du rayon par le cosinus de l’angle formé par les chordes des arcs qui sont les jambes de l’angle droit, est égal au produit des sinus des moitiés de ces arcs.

Corollaire III. Dans un triangle sphérique dont un côté est un quadrans : le quarré du cosinus de la moitié de l’angle opposé au quadrans est égal à la somme des produits du quarré du sinus de chacun des demi-angles restans par le quarré du cosinus de la moitié de l’autre. Ce corollaire se déduit immédiatement du Théorème I, par la considération du triangle polaire ou supplémentaire.

THÉORÈME II. Dans tout triangle sphérique rectangle, le quarré du sinus d’un des côtés est au produit du sinus de l’hypoténuse par le sinus du segment adjacent à ce côté, comme le sinus total est au cosinus de l’autre segment de l’hypothénuse.

Soient $\mathrm {B'}$ et $\mathrm {C'}$ les segmens de l’hypothénuse faits par la hauteur, et adjacens aux côtés $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ respectivement.

J’affirme que $\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}B:\operatorname {Sin} .A\;\operatorname {Sin} .B'=1:\operatorname {Cos} .C'$.

Démonstration. Soit $h$ la hauteur du triangle sphérique. ${\begin{aligned}{\text{On a}}\qquad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .\mathrm {B} &=\operatorname {Cos} .h\;\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} ,\\\operatorname {Cos} .\mathrm {C} &=\operatorname {Cos} .h\;\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ;\\{\text{donc}}\qquad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .\mathrm {B} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ,\\\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Cos} .\mathrm {B} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {C} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ,\\{\text{ou }}\qquad \qquad \qquad \operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} \,;\\\end{aligned}}$