or, le dernier terme de chaque produit est détruit par le premier terme du produit suivant, à l’exception de celui du dernier produit qui est détruit par le premier terme du premier produit, il ne reste donc de chaque produit que les termes dans lesquels les deux facteurs n’ont pas les mêmes accens ; on a donc, comme précédemment :
C’est encore ce qu’on peut obtenir autrement, en remarquant que le double de l’aire du polygone peut être mis également sous ces deux formes :
ce qui donne, en prenant la demi-somme des deux expressions, le même résultat que ci-dessus.
On peut remarquer, en passant, que la quantité A=0 ayant pour expression :
il en résulte que la somme des produits des côtés d’un polygone, soit par les sinus, soit par les cosinus des angles qu’ils font respectivement avec une droite tracée d’une manière quelconque sur un plan, est égale à zéro ; ce qu’on peut d’ailleurs démontrer directement d’une manière fort simple[1].
On pourrait aussi trouver, pour les polyèdres, des formules analogues aux précédentes et démontrer, par des considérations pareilles à celles dont nous venons de faire usage, que la somme des produits des aires des faces d’un polyèdre par les sinus ou cosinus des angles qu’elles font respectivement avec un plan quelconque est zéro ; et qu’il en est de même de la somme des produits des côtés d’un polygone rectiligne, plan ou gauche, par les sinus ou cosinus des angles qu’il forment avec une droite située d’une manière quelconque dans l’espace.
- ↑ Voyez l’ouvrage déjà cité.
