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DES POLYGONES.

$c,$ la seconde par $c',$ la troisième par $c'',$ et ainsi de suite, on aura évidemment le double de l’aire du polygone ; de sorte qu’en désignant ce polygone par $\mathrm {P}$, il viendra ;

$2\mathrm {P} =c\cdot {\frac {y'-ax'-b}{\sqrt {1+a^{2}}}}+c'\cdot {\frac {y'-a'x'-b'}{\sqrt {1+a'^{2}}}}+c''\cdot {\frac {y'-a''x'-b''}{\sqrt {1+a''^{2}}}}+\ldots$

$=\mathrm {A} y'-\mathrm {B} x'-\mathrm {C}$ ;

mais, l’aire du polygone est indépendante des coordonnées de $x'$ et $y'$ ; ainsi, $\mathrm {A=0,B=0}$ et $\mathrm {2P=-C}$ ; c’est-à-dire :

$2\mathrm {P} =-{\frac {bc}{\sqrt {1+a^{2}}}}-{\frac {b'c'}{\sqrt {1+a'^{2}}}}-{\frac {b''c''}{\sqrt {1+a''^{2}}}}-\ldots$ ;

or : $\qquad \qquad b=\beta -\alpha \cdot {\frac {\beta -\beta '}{\alpha -\alpha '}}={\frac {\alpha \beta '-\beta \alpha '}{\alpha -\alpha '}}$,

et : $\qquad \qquad {\frac {c}{\sqrt {1+a^{2}}}}=c\cdot \operatorname {Cos} .\gamma =\alpha '-\alpha$ ;

donc : $\qquad \qquad -{\frac {bc}{\sqrt {1+a^{2}}}}=\alpha \beta '-\beta \alpha '$ ;

et par conséquent :

$2\mathrm {P} =\alpha \beta '-\beta \alpha '+\alpha '\beta ''-\beta '\alpha ''+\alpha ''\beta '''-\beta ''\alpha '''+\ldots$,

formule élégante et à laquelle on peut arriver facilement, par la géométrie ordinaire. En effet un polygone, dont toutes les parties sont situées dans l’un des angles que forment les axes auxquels on rapporte les coordonnées des sommets, peut être considéré comme étant la différence de deux polygones qui auraient pour base commune la partie de l’axe des abscisses comprise entre celles des perpendiculaires abaissées des sommets sur cet axe, qui sont les plus distantes, et pour côtés adjacens ces mêmes perpendiculaires ; or, si on évalue les trapèzes dans lesquels se décomposent les polygones, lorsque de chacun de leurs angles on abaisse des perpendiculaires sur la base, il est évident que l’excès du double du polygone convexe sur le double du polygone concave, c’est-à-dire, le double du polygone dont il s’agit, aura pour expression :

$\mathrm {MP}$, on aura $p=(y'-ax'-b)\operatorname {Cos} .\gamma$ or $\operatorname {Cos} .\gamma ={\frac {1}{\operatorname {Sec} .\gamma }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {Tang} .^{2}\gamma }}}$$={\frac {1}{\sqrt {1+a^{2}}}}~;$

donc enfin $p={\frac {y'-ax'-b}{\sqrt {1+a^{2}}}}$.