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CONDITIONS.

puissances, il est la fois nécessaire et suffisant que ces deux-puissances soient égales et directement opposées.

On peut donc dire, d’après cela que, pour qu’il y ait équilibre, dans un système de forme invariable, absolument libre dans l’espace, il est nécessaire et suffisant que les deux puissances auxquelles il peut toujours être réduit, soient égales et directement opposées. Il ne s’agit donc, pour résoudre le problème proposé, que de traduire cette proposition en analise, et c’est là une chose extrêmement facile, comme on va le voir :

Soit en effet $\mathrm {P,P',P'',}$ …, des puissances dirigées dans l’espace d’une manière quelconque, et appliquées à des points invariablement liés entre eux ; soit $x',y',z',$ les coordonnées rectangulaires du point d’application de $\mathrm {P'}$ ; soit de plus $\mathrm {X',Y',Z',}$ ses composantes parallèles aux axes, et soit adopté des notations analogues pour les autres puissances du système.

Soit réduit (Lemme I.) tout le système à deux puissances seulement ; soit $t,u,v,$ les coordonnées du point d’application de la première ; $\mathrm {T,U,V,}$ ses composantes parallèles aux axes ; $t',u',v',$ les coordonnées du point d’application de la seconde et $\mathrm {T',U',V'}$ ses composantes parallèles aux axes. Par le principe de la composition des forces parallèles, nous aurons :

$\mathrm {T+T'=\Sigma (X'),\quad T} u+\mathrm {T'} u'=\mathrm {\Sigma (X'} y'),\quad \mathrm {T} v+\mathrm {T'} v'=\mathrm {\Sigma (X'} z'),$ $\mathrm {U+U'=\Sigma (Y'),\quad U} v+\mathrm {U'} v'=\mathrm {\Sigma (Y'} z'),\quad \mathrm {U} t+\mathrm {U'} t'=\mathrm {\Sigma (Y'} x'),$ $\mathrm {V+V'=\Sigma (Z'),\quad \ V} t+\mathrm {V'} t'=\mathrm {\Sigma (Z'} x'),\quad \ \mathrm {V} u+\mathrm {V'} u'=\mathrm {\Sigma (Z'} y')$^[1].

1. Comme, par le Lemme I, ces équations peuvent toujours être satisfaites, il en résulte cette conséquence analitique, qui peut trouver quelquefois son application, savoir : que si, entre des indéterminées $\mathrm {X,Y,Z,X',Y',Z',} x,y,z,x',y',z',$ et les quantités connues quelconques $a,b,c,d,e,f,g,h,k,$ on a les neuf équations :

   $\mathrm {X+X'} =a,\quad \mathrm {X} y+\mathrm {X'} y'=d,\quad \mathrm {X} z+\mathrm {X'} z'=g,$

   $\mathrm {Y+Y'} =b,\quad \ \mathrm {Y} z+\mathrm {Y'} z'=e,\quad \mathrm {Y} x+\mathrm {Y'} x'=h,$

   $\mathrm {Z+Z'} \ =c,\quad \ \mathrm {Z} x+\mathrm {Z'} x'=f,\quad \ \mathrm {Z} y+\mathrm {Z'} y'=k\,;$