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CONDITIONS.

lesquelles, à raison de l’indétermination de $A$ et $B$, pourront toujours être supposées différentes de zéro : elles se couperont en un certain point ; et, en désignant par $d$ et $e$ les coordonnées de ce point, on aura

$d={\frac {\sum (Y'x')+Ba}{\sum (Y')+B}},\qquad e={\frac {\sum (X'y')+Ab}{\sum (X')+A}};$

valeurs qui, par l’hypothèse, ne seront ni l’une ni l’autre infinies : l’équation de la puissance introduite sera

$A(y-b)=B(x-a),$

et celle de la résultante du système modifié sera

$\left[\sum (X')+A\right](y-e)=\left[\sum (Y')+B\right](x-d).$

Maintenant, pour que le système primitif soit de lui-même en équilibre, il est nécessaire et suffisant que la résultante du système modifié soit identique avec la puissance arbitrairement introduite. Or, cela exige, en premier lieu, qu’elles aient l’une et l’autre les mêmes composantes parallèles aux axes, ce qui donne d’abord

$\left.{\begin{array}{rl}\sum (X')+A&=A,\\\sum (Y')+B&=B\,;\\\end{array}}\right\}\quad {\text{ d’où }}\quad \left\{{\begin{array}{rl}\sum (X')&=0,\\\sum (Y')&=0\,;\\\end{array}}\right.$

au moyen de ces équations, on tire des valeurs de $d$ et $e$

$\mathrm {(K)} \quad B(d-a)=\sum (Y'x'),\quad A(e-b)=\sum (X'y');$

et les équations, tant de la puissance introduite que la résultante du système modifié sont alors

$A(y-b)=B(x-a),\quad A(y-e)=B(x-d);$

ces deux forces sont donc alors parallèles ; il suffit donc, pour leur coïncidence, qu’un des points de la direction de l’une satisfasse à l’équation de l’autre ; on complétera donc les conditions de l’équilibre du système primitif, en écrivant

$A(e-h)=B(d-a)\,;$