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RÉSOLUES.

Soit $\mathrm {ABC}$ un triangle dont $\mathrm {AB}$ est la base, et dont $\mathrm {CQ}$ est la hauteur (fig. 12). J’affirme que $\mathrm {AB:CQ=1\times \operatorname {Sin} .C:\operatorname {Sin} .A.\operatorname {Sin} .B}$.
Démonstration.

${\begin{aligned}\mathrm {AB:AC} &=\mathrm {\operatorname {Sin} .C:\operatorname {Sin} .B,} \\\mathrm {AC:CQ} &=1\qquad .\mathrm {\operatorname {Sin} .A} ;\\{\text{donc}}\qquad \mathrm {AB:CQ} &=\mathrm {\operatorname {Sin} .C:\operatorname {Sin} .A.\operatorname {Sin} .B.} \\\end{aligned}}$

COROLLAIRE. Dans tout triangle, un des côtés est au rayon du cercle inscrit, comme le produit du sinus total par le cosinus de la moitié de l’angle opposé à ce côté est au produit des sinus des demi-angles qui lui sont adjacens.

En effet, le triangle qui, ayant son sommet au centre du cercle inscrit, a pour base le côté dont il s’agit, a sa hauteur égale au rayon de ce cercle ; de plus, ses angles, à la base ; sont moitié des angles correspondans du premier triangle ; enfin, son angle, au sommet, est le supplément du complément de la moitié de l’angle au sommet du même triangle.

§. II.

LEMME CONNU. Dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit est à l’un des côtés, comme le sinus total est au double du sinus de l’angle opposé à ce côté.

§. III.

LEMME. Dans tout triangle, le rayon du cercle circonscrit est au rayon du cercle inscrit, comme le cube du sinus total est à quatre fois le produit continuel des sinus des demi-angles du triangle.

Soit $\mathrm {ABC}$ un triangle ; que les rayons des cercles, dont l’un lui est circonscrit et dont l’autre lui est inscrit, soient désignés par $\mathrm {R}$