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RÉSOLUES.

La solution de ces problèmes, déduite des méthodes exposées ci-dessus, sera incomparablement plus courte et plus simple que celles que fournirait la géométrie descriptive proprement dite.

Théorèmes sur les triangles, relatifs à la page 64
de ces Annales ;

Par M. Lhuilier, professeur de mathématiques à l’académie
impériale de Genève.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

THÉORÈME. Dans tout triangle, le quarré de la distance des centres des cercles qui lui sont inscrits et circonscrits, est égal au rectangle du rayon du cercle circonscrit, par l’excès du même rayon sur le double de celui du cercle inscrit^[1].

↑ Ce théorème a aussi été adressé, mais sans démonstration, aux Rédacteurs des Annales, par M. Kramp, professeur doyen de la faculté des sciences à Strasbourg.
Le même théorème est connu des Rédacteurs depuis 1807, il leur fut communiqué, à cette époque, par feu M. Mahieu, professeur de mathématiques au collège d’Alais, qui le tenait de M. Maisonneuve, ingénieur des mines. Voici de quelle manière M. Maisonneuve y était parvenu.

En désignant par $c,c',c''$ , les trois côtés du triangle, et par $\mathrm {D}$ la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit, on trouve, sans beaucoup de peine,

$D={\sqrt {{\frac {c^{2}c'^{2}c''^{2}}{(c+c'+c'')(c+c'-c'')(c'+c''-c)(c''+c-c')}}-{\frac {cc'c''}{c+c'+c''}}}}$ ;

mais on sait qu’en désignant par $\mathrm {R}$ le rayon du cercle circonscrit, par $r$ celui de l’inscrit, et par $\mathrm {T}$ l’aire du triangle, on a ces trois expressions :

[p153-1] Ce théorème a aussi été adressé, mais sans démonstration, aux Rédacteurs des Annales, par M. Kramp, professeur doyen de la faculté des sciences à Strasbourg.
Le même théorème est connu des Rédacteurs depuis 1807, il leur fut communiqué, à cette époque, par feu M. Mahieu, professeur de mathématiques au collège d’Alais, qui le tenait de M. Maisonneuve, ingénieur des mines. Voici de quelle manière M. Maisonneuve y était parvenu.

En désignant par $c,c',c''$ , les trois côtés du triangle, et par $\mathrm {D}$ la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit, on trouve, sans beaucoup de peine,

$D={\sqrt {{\frac {c^{2}c'^{2}c''^{2}}{(c+c'+c'')(c+c'-c'')(c'+c''-c)(c''+c-c')}}-{\frac {cc'c''}{c+c'+c''}}}}$ ;

mais on sait qu’en désignant par $\mathrm {R}$ le rayon du cercle circonscrit, par $r$ celui de l’inscrit, et par $\mathrm {T}$ l’aire du triangle, on a ces trois expressions :

[1]