Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/145

141

ANALITIQUE.

par le facteur ${\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}$, qui, égalé à zéro, donne la racine $c'={\frac {b'}{b}}c$, on élimine cette racine, laquelle répond à un triangle $a'b'c',$ semblable au triangle abc ; et l’on ne conserve que le facteur ${\frac {c'}{b'}}+{\frac {c}{b}}-2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =0$ qui, égalé à zéro, donne la racine $c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {b^{2}-a^{2}}{c}}$, laquelle répond à un autre triangle a’b’c’, en général dissemblable à abc. Cependant, on suppose ensuite semblables ces triangles qui, en général, ne le sont pas ; lors donc que la supposition de cette similitude est introduite dans le calcul, l’algèbre doit redresser cette fausse hypothèse, en indiquant le cas unique où elle peut devenir vraie.

19. Or, ce cas est celui où l’un des angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ est droit ( art.12, n.^os 3 et 6 ).

En faisant ${\frac {c'}{b'}}={\frac {c}{b}}$, dans l’équation ${\frac {c'}{b'}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{bc}}$ nous avons trouvé $b^{2}=a^{2}+c^{2}$, d’où nous avons conclu $\mathrm {B} =90^{\circ }$ ; mais c’est qu’alors nous avons tacitement supposé b > a, et partant ${\frac {c'}{b'}}$ positif.

Si nous avions supposé $b<a,$ et partant ${\frac {c'}{b'}}$ négatif, il eût failli faire, dans le cas correspondant, ${\frac {c'}{b'}}=-{\frac {c}{b}}$ ; et alors nous eussions trouvé $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, d’où $\mathrm {A} =90^{\circ }$.

20. En général, le triangle semblable à $abc$ est indiqué par la racine ${\frac {c'}{b'}}={\frac {c}{b}}$, le triangle dissemblable à $abc$ l’est par la racine ${\frac {c'}{b'}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{bc}}$ qui est positive ou négative, suivant que $b$ est $>a$ ou $<a.$ Faire ${\frac {c'}{b'}}=\pm {\frac {c}{b}}$, suivant que $b$ est $>a$ ou $<a,$ c’est donc demander à l’algèbre dans quels cas deux triangles, en général dissemblables, pourraient néanmoins devenir semblables ; et elle nous apprend que ce sera dans celui où l’un des angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sera droit.

Mais la racine ${\frac {c'}{b'}}={\frac {c}{b}}$ indique que les triangles $abc,a'b'c'$, entre