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TRIGONOMÉTRIE.

${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}},\mathrm {A=A'}$ et $\mathrm {B}$ de même espèce que $\mathrm {B',}$ on aura, comme on l’a fait voir, art. 2,

${\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}-{\frac {c^{2}}{b^{2}}}=2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)$ ;

divisant les deux membres de cette équation par ${\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}$, il viendra :

${\frac {c'}{b'}}+{\frac {c}{b}}=2\operatorname {Cos} .\mathrm {A}$ ;

d’où l’on conclura :

${\frac {c'}{b'}}=-{\frac {c}{b}}+2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} ={\frac {b^{2}-a^{2}}{bc}}$.

Or, pour que les triangles soient semblables, il faut qu’on ait ${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}$ ; donc, puisqu’on a déjà ${\frac {a}{a'}}={\frac {b}{b'}}$, il suffira de faire ${\frac {b}{b'}}={\frac {c}{c'}}$ d’où ${\frac {c'}{b'}}={\frac {c}{b}}$ ; et alors la dernière formule deviendra ${\frac {c}{b}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{bc}}$ ; et partant :

$b^{2}=a^{2}+c^{2}$ ;

ce qui donne $\mathrm {B=B'=90^{\circ }}$. Il semblerait donc résulter de là que, pour que les deux triangles, soient semblables, il faut que les angles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B'}$ soient tous deux droits.

18. Mais les détails dans lesquels nous sommes entrés jusqu’ici, mettent dans le plus grand jour tout ce qu’un pareil raisonnement présente de défectueux ; on voit, en effet, qu’en divisant l’équation ${\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}-{\frac {c^{2}}{b^{2}}}=2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)$, ou son équivalente,

$\left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c'}{b'}}+{\frac {c}{b}}-2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \right)=0$