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TRIGONOMÉTRIE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

6.^o Si $b$ est $<a$ et $\mathrm {A}$ droit (fig. 6), on a,

$c'={\frac {b'}{b}}c\quad$ou$\quad c'=-{\frac {b'}{b}}c$.

7.^o Si, enfin, $b=a$ (fig. 7), on a seulement,

$c'={\frac {b'}{b}}c$.

Et, pour le problème analogue où, connaissant les côtés $a,b,c,$ et les angles $\mathrm {A,B,C,}$ d’un triangle, il s’agit de déterminer les côtés $a',b',c',$ et les angles $\mathrm {A',B',C',}$ d’un autre triangle qui soit tel qu’on ait : $\mathrm {A'} =180^{\circ }-\mathrm {A}$ et ${\frac {a'}{a}}={\frac {b'}{b}}=m$, $m$ étant un nombre donné ; voici, relativement à la détermination de $c',$ les seules valeurs qui satisfassent à la question, telle qu’elle a été proposée :

1.^o Si $b$ est $<a$ et $\mathrm {A}$ obtus (fig. 4), on a seulement,

$c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$;

2.^o Si $b$ est $<a$ et $\mathrm {A}$ aigu (fig. 5), on a encore,

$c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$;

3.^o Si $b$ est $<a$ et $\mathrm {A}$ droit (fig. 6), on a,

$c'={\frac {b'}{b}}c\quad$ou$\quad c'=-{\frac {b'}{b}}c$.

et, dans chacun des quatre autres cas (fig. 1, 2, 3, 7), on n’a aucune valeur de $c'$ qui satisfasse à la question.

13. On voit que les deux problèmes ont les mêmes racines, $c'={\frac {b'}{b}}c$ ou $c'=-{\frac {b'}{b}}c$, lorsque $\mathrm {A}$ est droit, et partant $b<a$ ; parce qu’alors on a, tout à la fois, $\mathrm {A'=A}$ et $\mathrm {A'=180^{\circ }-A.}$

On voit encore que la racine $c'={\frac {b'}{b}}.{\frac {a^{2}-b^{2}}{c}}$, du premier problème,