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TRIGONOMÉTRIE.
![{\displaystyle \mathrm {B=B'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8aa552833339f4ee8e421463a066d31fa627a42)
ou
![{\displaystyle \mathrm {B=180^{\circ }-B'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73add8d91cba1c459374ddf8a01abdff67bf621)
;
mais, si
et
sont de même espèce, sans être égaux, on ne peut avoir
; on a donc exclusivement
et, par conséquent, les triangles proposés sont semblables comme équiangles.
Cette proposition donne naturellement lieu au problème suivant :
2. Connaissant les angles
et les côtés
d’un triangle, déterminer les angles
, et les côtés
d’un autre triangle qui soit tel qu’on ait :
,
étant un nombre donné ?
Ce problème présentant quelques circonstances remarquables qui n’ont jamais été discutées, nous allons le résoudre avec tout le détail que sa nature comporte.
On connaît
, et l’on demande
; or, si l’on connaissait
on trouverait aussitôt
et
; tout se réduit donc à déterminer
en fonction des données, ce qu’on fera ainsi qu’il suit :
Les deux triangles donnent respectivement :
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\mathrm {\operatorname {Cos} .A} ,\\a'^{2}&=b'^{2}+c'^{2}-2b'c'\mathrm {\operatorname {Cos} .A'} ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d39d58f54bfc22d3b6e93d3764075747a0d2cd)
d’où on tire, en se rappelant que
et que
![{\displaystyle {\frac {c^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1+{\frac {2c}{b}}\mathrm {\operatorname {Cos} .A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd709500151d6e8472565386045eebba6746f35)
,
![{\displaystyle {\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1+{\frac {2c'}{b'}}\mathrm {\operatorname {Cos} .A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec23b4a059514d5b5f27dd8278e8b0e2396c56f)
,
Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, il vient :
![{\displaystyle {\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}-{\frac {c^{2}}{b^{2}}}=2\mathrm {\operatorname {Cos} .A} \left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e0fe5542a739ef23b003053791757f5fbd0a18)
équation qui revient à
![{\displaystyle \left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c'}{b'}}+{\frac {c}{b}}-2\mathrm {\operatorname {Cos} .A} \right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bda1f1d142e05c1ce263ff4a9a1462906e1cd2)