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D’ÉQUILIBRE.

système que la seule puissance $\mathrm {P'} ,$ et qui pourront avoir lieu d’une infinité de manières dans tous les autres cas.

Si, au lieu de composer à part les puissances introduites, nous les considérons comme formant un tout avec celles du système primitif, en posant, pour abréger,

$\sum (X')=X,\quad \sum (Y')=Y,\quad \sum (Z')=Z\,;$

nous aurons, parallèlement aux axes, les trois résultantes partielles

$X+A,\quad Y+B,\quad Z+C\,;$

et nous pourrons, à cause des puissances arbitraires, admettre qu’aucune de ces résultantes n’est nulle, et que de plus elles passent toutes trois par un même point quelconque ; désignant alors $d,e,f,$ les coordonnées de ce point, nous aurons

${\begin{aligned}d&={\frac {\sum (Y'x')+\sum (B'x')}{Y+B}}={\frac {\sum (Z'x')+\sum (C'x')}{Z+C}},\\e&={\frac {\sum (Z'y')+\sum (C'y')}{Z+C}}={\frac {\sum (X'y')+\sum (A'y')}{X+A}},\\f&={\frac {\sum (X'z')+\sum (A'z')}{X+A}}={\frac {\sum (Y'z')+\sum (B'z')}{Y+B}}\,;\\\end{aligned}}$

ce qui emportera les trois nouvelles conditions

$\mathrm {(II)} \quad \left\{{\begin{array}{rcr}{\frac {\sum (Y'x')+\sum (B'x')}{Y+B}}={\frac {\sum (Z'x')+\sum (C'x')}{Z+C}},\\{\frac {\sum (Z'y')+\sum (C'y')}{Z+C}}={\frac {\sum (X'y')+\sum (A'y')}{X+A}},\\{\frac {\sum (X'z')+\sum (A'z')}{X+A}}={\frac {\sum (Y'z')+\sum (B'z')}{Y+B}}\,;\\\end{array}}\right.$

lesquelles, comme les équations $\mathrm {(I)}$, seront satisfaites d’elles-mêmes,