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RÉSOLUES.
ditions du problème ; et cette courbe sera continue ou discontinue, suivant la nature de la courbe arbitraire
.
Analise. Soit rapporté la courbe arbitraire
à deux axes rectangulaires passant par
, et supposons qu’alors son équation soit :
![{\displaystyle y=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514)
;
l’équation générale des droites
sera :
![{\displaystyle y=\alpha x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb9497c32560b50f3b5b09748efac18febd80bc)
,
étant une indéterminée.
On obtiendra ensuite les équations de tous les points
, en combinant entre elles les deux équations
![{\displaystyle y=f(x),\ y=\alpha x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474b76d6df5ac78e290f32c768194f3699e7b802)
;
d’où on conclura d’abord :
. Si l’on suppose que cette équation, résolue par rapport à x, donne
, les points
auront pour leurs équations :
.
Les cercles qui auront ces points pour centres et r pour rayon auront donc pour équation générale :
![{\displaystyle \left[x-\varphi (\alpha )\right]^{2}+\left[y-\alpha \varphi (\alpha )\right]^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22450d79d992190ba9083cca4d141d43e0c0e6bf)
;
en sorte que la combinaison de cette équation avec l’équation
de
fera connaître les points
et
qui répondent à chaque valeur particulière de l’indéterminée ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Éliminant donc cette indéterminée entre ces deux équations, l’équation résultante en x et y sera celle du lieu géométrique de tous les points
et
; elle sera donc l’équation de la courbe cherchée.
L’équation la plus générale des courbes qui satisfont aux conditions du problème proposé est donc :
![{\displaystyle \left\{x-\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {y}{x}}\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22441da8033336cb5834fbff935259c9e488c41f)