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INDÉFINIS.

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &=\left\{1-{\tfrac {(n-m)^{2}}{n^{2}}}\right\}\left\{1-{\tfrac {(n-m)^{2}}{9n^{2}}}\right\}\left\{1-{\tfrac {(n-m)^{2}}{25n^{2}}}\right\}\ldots ,\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &={\tfrac {(n-m)\varpi }{2n}}\left\{1-{\tfrac {(n-m)^{2}}{4n^{2}}}\right\}\left\{1-{\tfrac {(n-m)^{2}}{16n^{2}}}\right\}\left\{1-{\tfrac {(n-m)^{2}}{36n^{2}}}\right\}\ldots ,\\\end{aligned}}$

décomposant, dans les deux premières formules, les facteurs du second degré en facteurs du premier, et réduisant de plus, dans chaque facteur, l’entier et la tfraction en une seule tfraction, il viendra :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &={\tfrac {\varpi }{2}}.{\tfrac {m}{n}}.{\tfrac {2n-m}{2n}}.{\tfrac {2n+m}{2n}}.{\tfrac {4n-m}{4n}}.{\tfrac {4n+m}{4n}}.{\tfrac {6n-m}{6n}}.{\tfrac {6n+m}{6n}}.\ldots ,\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &={\tfrac {n-m}{n}}.{\tfrac {n+m}{n}}.{\tfrac {3n-m}{3n}}.{\tfrac {3n+m}{3n}}.{\tfrac {5n-m}{5n}}.{\tfrac {5n+m}{5n}}.{\tfrac {7n-m}{7n}}.{\tfrac {7n+m}{7n}}.\ldots ,\\\end{aligned}}$

voilà donc deux expressions, l’une des sinus et l’autre des cosinus, en produits indéfinis, dont les facteurs, tendant sans cesse vers l’unité, sont alternativement plus grands et plus petits que cette limite commune.

En faisant subir les mêmes transformations aux deux autres expressions, elles deviendront :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &={\tfrac {m}{n}}.{\tfrac {2n-m}{n}}.{\tfrac {2n+m}{3n}}.{\tfrac {4n-m}{3n}}.{\tfrac {4n+m}{5n}}.{\tfrac {6n-m}{5n}}.{\tfrac {6n+m}{7n}}.\ldots ,\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &={\tfrac {\varpi }{2}}{\tfrac {n-m}{n}}.{\tfrac {n+m}{2n}}.{\tfrac {3n-m}{2n}}.{\tfrac {3n+m}{4n}}.{\tfrac {5n-m}{4n}}.{\tfrac {5n+m}{6n}}\ldots ,\\\end{aligned}}$

divisant alors l’une par l’autre les deux expressions soit de $\operatorname {Sin} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi$

soit de $\operatorname {Cos} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi$, il viendra également :

$\varpi =2.{\tfrac {2}{1}}.{\tfrac {2}{3}}.{\tfrac {4}{3}}.{\tfrac {4}{5}}.{\tfrac {6}{5}}.{\tfrac {6}{7}}.{\tfrac {8}{7}}.{\tfrac {8}{9}}.{\tfrac {10}{9}}{\tfrac {10}{11}}\ldots$ :

expression du nombre $\varpi$ ; donnée pour la première fois par Wallis^[1].

1. Voyez l’Arithmetica infinitorum, dans le premier volume de ses œuvres.