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PRODUITS.

on l’a supposé à la puissance $p$ ; ce qui fait apercevoir encore, d’une autre manière, l’absurdité de l’hypothèse.

Nous voilà donc assurés que non-seulement nos facteurs doivent entrer dans les deux séries, mais que, de plus, chacun d’eux ne doit s’y trouver qu’à la première puissance seulement. Je remarque actuellement que l’on peut faire le produit de ceux qui répondent à une même valeur de $k$ ; on obtient ainsi les facteurs du second degré :

$1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\varpi ^{2}}},\quad 1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\varpi ^{2}}}$ :

donnant donc à $k$ toutes les valeurs entières et positives, à partir de l’unité, et ayant égard au facteur $x$ qui affecte la valeur de $\operatorname {Sin} .x$, il viendra :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .x&=x\left(1-{\tfrac {x^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {x^{2}}{4\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {x^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {x^{2}}{16\varpi ^{2}}}\right)\cdots \\\operatorname {Cos} .x&=\quad \left(1-{\tfrac {4x^{2}}{\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {4x^{2}}{9\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {4x^{2}}{25\varpi ^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {4x^{2}}{49\varpi ^{2}}}\right)\cdots \\\end{aligned}}$

Soit fait d’abord, dans ces deux formules, $x={\tfrac {m\varpi }{2n}}$ ; elles deviendront ;

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &={\tfrac {m\varpi }{2n}}\left(1-{\tfrac {m^{2}}{4n^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {m^{2}}{16n^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {m^{2}}{36n^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {m^{2}}{64n^{2}}}\right)\cdots ,\\\operatorname {Cos} .{\tfrac {m}{2n}}\varpi &=\qquad \left(1-{\tfrac {m^{2}}{n^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {m^{2}}{9n^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {m^{2}}{25n^{2}}}\right)\left(1-{\tfrac {m^{2}}{49n^{2}}}\right)\cdots ,\\\end{aligned}}$

en y faisant, au contraire, $x={\tfrac {(n-m)\varpi }{2n}}$ et remarquant, 1.^o que

$\operatorname {Sin} .{\tfrac {(n-m)\varpi }{2n}}=\operatorname {Sin} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -{\tfrac {m\varpi }{2n}}\right)=\operatorname {Cos} .{\tfrac {m\varpi }{2n}}$ ;

2.^o que

$\operatorname {Cos} .{\tfrac {(n-m)\varpi }{2n}}=\operatorname {Cos} .\left({\tfrac {1}{2}}\varpi -{\tfrac {m\varpi }{2n}}\right)=\operatorname {Sin} .{\tfrac {m\varpi }{2n}}$ ;

il viendra, en transposant les formules :