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INDÉFINIS.

sont tous ceux que l’on peut former, en donnant les mêmes valeurs à $k,$ dans la formule $1\mp {\frac {2x}{(2k-1)\varpi }}$ .

Mais ces binômes n’entreront-ils qu’à la première puissance, soit dans l’une, soit dans l’autre série, ou bien tous ou quelques-uns d’entre eux ne s’y trouveront-ils pas affectés d’exposans différens de l’unité positive, C’est ce qu’il s’agit présentement d’examiner.

Je remarque d’abord qu’aucun de ces binômes ne peut, dans la série dont il est facteur, se trouver affecté d’un exposant négatif ; puisqu’alors l’égalité de ce facteur à zéro, au lieu de rendre $\operatorname {Sin} .x$ ou $\operatorname {Cos} .x$ nul, ainsi que cela doit être, le rendrait au contraire infini. On ne peut admettre non plus que cet exposant soit une fraction positive ; car, à cause de la multiplicité des racines qu’une même quantité peut admettre, dans chaque degré, il arriverait, contrairement à la doctrine des fonctions circulaires, qu’à un même arc répondraient plusieurs sinus ou cosinus ; ou encore que la série, qui n’a qu’une valeur unique pour chaque valeur de $x$ , en aurait plusieurs, lorsqu’elle serait mise sous forme de produit de facteurs.

Je dis, enfin, qu’aucun des facteurs binômes de l’une ou de l’autre série ne peut être affecté d’un exposant entier et positif, différent de l’unité. On peut remarquer, en effet, que chacune de ces séries est, au signe près, la fonction dérivée de l’autre ; si donc un des facteurs binômes de l’une d’elles s’y trouvait élevé à une puissance entière. et positive $p$ , plus grande que l’unité, on en conclurait, par la théorie connue des racines égales, que ce même facteur devrait aussi se trouver dans l’autre, et s’y trouver à la puissance $p-1$ ; d’où résulterait d’abord cette conséquence absurde qu’une même valeur de $x$ rend nuls à la fois $\operatorname {Sin} .x{\text{ et }}\operatorname {Cos} .x$ , ou, en d’autres termes, qu’il existe un arc dont le sinus et le cosinus sont tous deux nuls : assertion détruite par l’équation fondamentale $\operatorname {Sin} .x^{2}+\operatorname {Cos} .x^{2}=1$ . On peut d’ailleurs remarquer que, de ce que le facteur dont il s’agit entrerait à la puissance $p-1$ dans l’autre série, on pourrait conclure qu’il ne doit entrer qu’à la puissance $p-2$ dans la première ; c’est-à-dire, dans celle où