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ROTATION.

les secondes puissances et produits des quantités angulaires $\mathrm {A,B,C,}$ et qu’ainsi les uns peuvent être censés égaux aux autres. On aura donc :

\mathrm {AW=A'W} \,;\quad \mathrm {BW=B'W} \,;\quad \mathrm {CW=C'W} .

18. Ôtant les quarrés des cosinus de l’unité, on obtiendra les quarrés des sinus. Si l’on emploie les réductions déjà enseignées, on trouvera :

\mathrm {W} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {AW=B} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}c+2\mathrm {BC} (\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b

.

\mathrm {W} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {BW=C} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}a+2\mathrm {CA} (\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)+\mathrm {A} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}c

.

\mathrm {W} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {CW=A} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b+2\mathrm {AB} (\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)+\mathrm {B} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}a

.

19. Les seconds membres de ces équations sont (14) les quarrés même des petits arcs $\mathrm {AA',BB',CC',}$ décrits par les sommets des angles du triangle, en vertu des trois rotations successives. Tirant donc la racine quarrée de part et d’autre, il viendra :

$\mathrm {W\operatorname {Sin} .AW=AA'\,;\quad W\operatorname {Sin} .BW=BB'\,;\quad W\operatorname {Sin} .CW=CC'}$ .

20. Mais, en vertu des formules connues de la trigonométrie sphérique, on a :

\mathrm {AA'=AWA'\operatorname {Sin} .AW\,;\,BB'=BWB'\operatorname {Sin} .BW} \,;\mathrm {CC'=CWC'\operatorname {Sin} .CW}

^[1].

Multipliant ces équations par les précédentes, il viendra ; en supprimant les facteurs communs, et renversant,

\mathrm {AWA'=W\,;\,BWB'=W\,;\,CWC'=W\,;\,}

de manière que ces trois angles sont égaux entre eux et à la quantité radicale $\mathrm {W.}$

↑ En vertu de la proportionnalité des sinus des angles au sinus des côtés opposés, on a : $\mathrm {\operatorname {Sin} .AA'W.\operatorname {Sin} .AA'=\operatorname {Sin} .AWA'\operatorname {Sin} .AW}$ ; mais, à raison de la petitesse de l’angle $\mathrm {AWA',}$ on peut supposer $\mathrm {\operatorname {Sin} .AA'W} =1,$ $\operatorname {Sin} .\mathrm {AA'=AA'}$ et $\operatorname {Sin} .\mathrm {AWA'=AWA'}$ ; ce qui rend cette équation identique avec la première des trois ci-dessus : il en serait de même pour les deux autres.
(Note des éditeurs.)

[1] En vertu de la proportionnalité des sinus des angles au sinus des côtés opposés, on a : $\mathrm {\operatorname {Sin} .AA'W.\operatorname {Sin} .AA'=\operatorname {Sin} .AWA'\operatorname {Sin} .AW}$ ; mais, à raison de la petitesse de l’angle $\mathrm {AWA',}$ on peut supposer $\mathrm {\operatorname {Sin} .AA'W} =1,$ $\operatorname {Sin} .\mathrm {AA'=AA'}$ et $\operatorname {Sin} .\mathrm {AWA'=AWA'}$ ; ce qui rend cette équation identique avec la première des trois ci-dessus : il en serait de même pour les deux autres.
(Note des éditeurs.)

[1]