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DES CORPS.
Désignons par les grandes lettres
les angles du triangle ;
par les petites
les côtés qui leur sont respectivement opposés, et soit
l’angle du sommet duquel il s’agît de trouver les coordonnées.
Soient
, les coordonnées du point
; soient
, les coordonnées du point
; soient
les coordonnées du point
soit enfin désignée par
la fonction connue :
.
Cette fonction joue un très-grand rôle dans le calcul des triangles
sphériques. Si l’on fait la somme des trois côtés
, on aura :
.
Elle apprend immédiatement à trouver les angles, moyennant les formules qui suivent ;
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .a.\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .\mathrm {C} .\\&\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Sin} .\mathrm {A} .\\&\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Sin} .a.\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b0996099bae081f327fadf7c51c796127011a1)
Le radical T peut être donné sous une forme entièrement rationnelle, en introduisant les coordonnées des trois sommets
On obtient ainsi pour
les trois expressions parfaitement identiques :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {T} =(qr'-rq'\,)x+(rp'-pr')y+(pq'\,-qp')z\,;\\&\mathrm {T} =(q'z-r'y')p+(r'x-p'z)q+(p'y-q'x)r\,;\\&\mathrm {T} =(ry\ \,-qz\ )p'+(pz\ -rx)q'+(qx\ \,-py)r'.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5c7cce61d33dd6ffec49a9c001ac8b4e5f6e7a)
En vertu de ce qui précède, on aura, pour la solution du problème, les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}px+\ qy+\ rz&=\operatorname {\operatorname {Cos} } .b.\\p'x+q'y+r'z&=\operatorname {\operatorname {Cos} } .a.\\x^{2}+\ y^{2}+\ z^{2}&=1.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1646abdb76b80f4ec57f91d67b4dac24b9d24dc)