Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/106

102

ROTATION.

et, à cause de

$p^{2}+q^{2}+r^{2}=1\quad {\text{ et }}\quad p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}=1$

il revient à

$2(1-pp'-qq'-rr')$ ;

on aura donc ;

$\operatorname {\operatorname {Cos} } .\mathrm {AB} =pp'+qq'+rr'$.

2. Si l’arc $\mathrm {AB}$ est un quart de circonférence, on aura :

$pp'+qq'+rr'=0$.

en outre, l’expression de $\operatorname {\operatorname {Cos} } .\mathrm {AB}$ renferme tout ce qui peut concerner la relation entre deux systèmes de coordonnées, dont un est rectangulaire.

3. Le sinus de l’arc $\mathrm {AB}$ n’admet point de forme rationnelle. Toutefois, le quarré de ce sinus étant égal à cette somme de trois quarrés ;

$(pq'-qp')^{2}+(qr'-rq')^{2}+(rp'-pr')^{2}$ ;

on voit que, si l’on considère $p',q',r'$, comme représentant trois forces tant pour leur intensité que pour leurs application et direction, les racines

$pq'-qp',qr'-rq',rp'-pr'$ ;

exprimeront les différences des momens de rotation de ces trois forces autour des trois axes rectangulaires $p,q,r$.

Problème II.

4. Connaissant les trois côtés d’un triangle sphérique appartenant à une sphère qui a son centre à l’origine des coordonnées rectangulaires, et son rayon égal à l’unité ; et étant donné les coordonnées des sommets de deux des angles de ce triangle, déterminer les coordonnées du sommet du troisième ?