53. Si on calculait des tables de logarithmes par une quelconque de ces formules, soit en négligeant entièrement la série du second membre, soit en se servant de son premier terme, on pourrait aisément se faire un moyen d’obtenir cinq ou six chiffres décimaux exacts de plus que n’en donnerait, dans l’un ou l’autre cas, la formule employée. Il suffirait pour cela de déterminer d’avance le logarithme de la partie constante du premier ou du second terme de la série multipliée par le double du module ; car, en retranchant ensuite de ce logarithme celui de la partie du dénominateur, qui peut influer sur les premiers chiffres du quotient, on aurait pour reste un logarithme répondant à un nombre qui exprimerait la valeur du premier ou du second terme de la série, au moins dans ses premiers chiffres significatifs. Ainsi, par exemple, en nous servant toujours de la formule U, si on sait que
et
en retranchant de la somme des doubles des logarithmes des nombres , qui entrent dans le premier calcul de la formule, on aura pour reste un logarithme qui différera peu de celui du produit du premier terme de la série, par le double du module. Il en sera de même par rapport à la valeur du second terme de la série multipliée par , si on ôte de trois fois la somme ; car le logarithme restant sera celui de cette valeur, considérée seulement dans ses premiers chiffres significatifs.
Pour ne rien laisser à désirer à cet égard, soit repris l’exemple du n.o 50 ; on aura :
