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Prenons pour élément $d\omega$ une zone d’ouverture $d\alpha$ autour de la direction du champ

$d\omega =2\pi \sin \alpha d\alpha ,$

$\alpha$ variant de $0$ à $\pi .$

Si $\mathrm {N}$ est le nombre total des molécules, $\mathrm {K}$ est déterminé ; on doit avoir en effet, en posant

${\frac {\mathrm {MH} }{r\mathrm {T} }}=a,$

$\mathrm {N} =2\pi \mathrm {K} \int _{0}^{\pi }e^{a\cos \alpha }\sin \alpha d\alpha =2\pi \mathrm {K} \int _{-1}^{+1}e^{ax}dx,$

$\mathrm {N} ={\frac {2\pi \mathrm {K} }{a}}\left(e^{a}-e^{-a}\right)$

οu

$\mathrm {K} ={\frac {\mathrm {N} a}{4\pi \operatorname {Sh} a}}.$

Le moment magnétique total des $\mathrm {N}$ molécules est évidemment dirigé parallèlement au champ et est égal à la somme des projections sur cette direction des moments composants. Pour l’unité de volume supposée contenir $\mathrm {N}$ molécules, ce moment résultant représente l’intensité d’aimantation $\mathrm {I}$ :

$\mathrm {I} =\int \mathrm {M} \cos .\alpha dn=\int _{-1}^{+1}2\pi \mathrm {MK} xe^{ax}dx.$

Or

$\int _{-1}^{+1}xe^{ax}dx=2\left({\frac {\operatorname {Ch} a}{a}}-{\frac {\operatorname {Sh} a}{a^{2}}}\right),$

d’où

$\mathrm {I=MN} \left({\frac {\operatorname {Ch} a}{\operatorname {Sh} a}}-{\frac {1}{a}}\right).$

Pour un nombre donné de molécules, une masse donnée du gaz, $\mathrm {I}$ est donc bien fonction seulement de $a,$ c’est-à-dire de $\mathrm {\frac {H}{T}}$ conformément au résultat fourni par la Thermodynamique.