Prenons pour élément
une zone d’ouverture
autour de la direction du champ
![{\displaystyle d\omega =2\pi \sin \alpha d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a954128a7ea792b6809c5c04a770604a361d812e)
variant de
à ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
Si
est le nombre total des molécules,
est déterminé ; on doit avoir en effet, en posant
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {MH} }{r\mathrm {T} }}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9784b984f7b72e216d03e9d37b409939d08b4fd)
![{\displaystyle \mathrm {N} =2\pi \mathrm {K} \int _{0}^{\pi }e^{a\cos \alpha }\sin \alpha d\alpha =2\pi \mathrm {K} \int _{-1}^{+1}e^{ax}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9d43c12037458f4593a191dc669fbcbfb3094f)
![{\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {2\pi \mathrm {K} }{a}}\left(e^{a}-e^{-a}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6675340602992d9088f4cc5300e6874772503ae7)
οu
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\mathrm {N} a}{4\pi \operatorname {Sh} a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc4cb75913791dd08cb0b0d40ec93e7fffb30a4)
Le moment magnétique total des
molécules est évidemment dirigé parallèlement au champ et est égal à la somme des projections sur cette direction des moments composants. Pour l’unité de volume supposée contenir
molécules, ce moment résultant représente l’intensité d’aimantation
:
![{\displaystyle \mathrm {I} =\int \mathrm {M} \cos .\alpha dn=\int _{-1}^{+1}2\pi \mathrm {MK} xe^{ax}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6308dc449ceb64399b86ac48df868291251c2507)
Or
![{\displaystyle \int _{-1}^{+1}xe^{ax}dx=2\left({\frac {\operatorname {Ch} a}{a}}-{\frac {\operatorname {Sh} a}{a^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a234a3add4603e2319f55650d830d5a8c57ac3d)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {I=MN} \left({\frac {\operatorname {Ch} a}{\operatorname {Sh} a}}-{\frac {1}{a}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d57a0293a2350b22d4a09530d134ae394a25179)
Pour un nombre donné de molécules, une masse donnée du gaz,
est donc bien fonction seulement de
c’est-à-dire de
conformément au résultat fourni par la Thermodynamique.