cet Ouvrage, que non-seulement ce prétendu principe est encore inutile dans ce cas, mais que l’application en est insuffisante & pourroit même être fautive.
Remarque II.
23. Il n’est pas inutile de remarquer que quand on a d’abord l’équation entre & en termes finis, & qu’on en tire par la différentiation à l’ordinaire l’équation , la valeur de qu’on trouve par ce calcul est précisément celle de , véritable différence seconde de ; on pourroit d’abord douter[1],
↑Il suffit pour former ce doute de se rappeller le principe d’après
lequel on trouve les différences secondes. Supposant (Pl. V. fig. 2) & une fonction de que je représente par ; pour avoir on suppose que devienne , & alors étant , on a en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre & des ordres ultérieurs. Ensuite pour avoir on suppose dans la valeur de que devienne , & on néglige dans ce calcul les quantités infiniment petites du troisieme ordre & des ordres ultérieurs pour avoir la valeur de , ensorte qu’on prend pour la différence entre cette valeur de , & celle qu’on a trouvé pour . Mais il faut remarquer que puisque dans la valeur de on a négligé les quantités du second ordre, cette omission peut influer sur la différence cherchée des lignes , , laquelle différence est infiniment petite du second ordre, par conséquent on n’est en droit de conclure que est égal à la valeur de , qu’autant qu’on aura fait voir que l’omission dont il s’agit, ne produit dans le calcul qu’une erreur infiniment petite au-dessous du second ordre.
Fig. V-2
Pour y parvenir nous allons d’abord démontrer une proposition que notre
Auteur a donnée dans ses recherches sur le systême du monde. Soit une fonction de , étant une quantité très-petite dont on suppose que augmente, on aura. &c. étant le coefficient de dans la différentiation de , & celui de dans la
différentiation de . Car si on suppose & qu’on différentie en supposant constant (ce qui est permis ici, puisqu’on suppose que ne croît actuellement que de la quantité ) on aura ; soit , on aura
; soit , on aura , donc en continuant de la même maniere, on aura
&c. &c.
Cela posé, étant on a
&c.
&c.
Donc
ou ou .
Mais par les méthodes ordinaires du calcul différentiel, on auroit
donc ou ou .
Donc le que donne le calcul différentiel est en effet la vraie valeur de .