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(comme par un piston) se meut dans le vase $POTQ\,\!$ , abstraction faite de la pesanteur, la conservation des forces vives aura lieu.

Pour cela, nous imaginerons le fluide partagé en tranches égales & infiniment petites, dont la masse sera appellée $m\,\!$ , & dont l’épaiseur sera $dx\,\!$ & $y\,\!$ la largeur ; on aura ainsi $m=ydx\,\!$ . Si on appelle $u\,\!$ la vitesse de chaque tranche, & $u+du\,\!$ sa vitesse dans l’instant suivant ; il faudra par notre principe, que les tranches animées des vitesses $du\,\!$ se fassent équilibre, c’est-à-dire que $\int dudx\,\!$ sera $=0\,\!$ (Cor. précéd.). Mais pour démontrer la conservation des forces vives, il faut prouver^[1] que $\int mudu=0\,\!$ :or $u={\frac {x}{y}}\,\!$ , puisque la vitesse de chaque tranche est en raison inverse de sa largeur ; $m=ydx\,\!$ ; donc $\int mudu=\int dudx=0\,\!$ . Donc &c.

AVERTISSEMENT.

M. Daniel Bernoulli dans son excellent Ouvrage qui a pour titre : Hydrodynamica &c. a tiré les loix du mouvement des fluides dans des vases, de la conservation des forces vives, mais sans la démontrer. Comme notre principe général exposé art. 60. nous a conduit à en trou -

↑ Si $\int mudu=0\,\!$ , & qu’on nomme $u'\,\!$ la vitesse de la même tranche dans l’instant suivant, on aura (en faisant $ydx\,\!$ ou $m\,\!$ constant, ce qui est permis), $\int {\frac {mu'u'-muu}{2}}=0\,\!$ (puisque ${\frac {mu'u'-muu}{2}}=mudu\,\!$ ) ; donc $\int mu'u'=\int muu\,\!$ .

[1] Si $\int mudu=0\,\!$ , & qu’on nomme $u'\,\!$ la vitesse de la même tranche dans l’instant suivant, on aura (en faisant $ydx\,\!$ ou $m\,\!$ constant, ce qui est permis), $\int {\frac {mu'u'-muu}{2}}=0\,\!$ (puisque ${\frac {mu'u'-muu}{2}}=mudu\,\!$ ) ; donc $\int mu'u'=\int muu\,\!$ .

[1]