parler toujours des nombres entiers). D’où on conclut qu’il est donc impossible qu’il y ait aucun triangle rectangle dont l’aire soit quarrée.
On infère de là qu’il n’y en a non plus en fractions dont l’aire soit quarrée ; car, s’il y en avoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas être, comme il se peut prouver par la descente.
Je n’ajoute pas la raison d’où j’infère que, s’il y avoit un triangle rectangle de cette nature, il y en auroit un autre de même nature moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et que c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les Pascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon indication.
2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que lorsqu’il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse l’unité un multiple de 4, est composé de deux quarrés[1], je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l’aide de quelques nouveaux principes qu’il y fallut joindre par nécessite. Ce progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives est tel : si un nombre premier pris à discrétion, qui surpasse de l’unité un multiple de 4, n’est point composé de deux quarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l’infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de celle nature, lequel il s’ensuivroit n’être pas composé de deux quarrés, ce qu’il est pourtant. D’où on doit inférer, par la déduction à l’impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.
3. Il y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques autres qui
- ↑ Voir Observ. VII sur Diophante.
