double — 2 du même nombre, ou ne trouvera pas les triangles qui se font par 29 et 12 ou par 60 et 293, et une infinité d’autres ; mais on les trouvera tous par la règle que vous mettez en l’écrit particulier (’) que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres constitutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre eux et de divers ordres.
Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les côtés des quarrés ( 2 ) sont comme d’un nombre impair à un autre nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu’il y a deux triangles où les côtés des quarrés sont comme de 65 à un autre nombre, et dont le moindre côté est différent d’un quarré des deux autres : savoir les deux qui sont faits de 65 et 14 et de 65 et 24 et les autres qui sont en même proportion.
Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont les racines des quarrés sont comme d’un nombre pair à un impair, comme par exemple de 60 à quelque autre nombre, on n’y pourroit pas satisfaire par cette seconde règle, sinon après un long tâtonnement (*), et la première règle ne donne que la raison de 60 à 1861 ; mais il y a encore trois autres proportions, outre celle-là, qui ont toutes 60 pour un de leurs termes.
J’ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles
(1) Écrit perdu. — La première règle de Fermat consiste a prendre pour les nombres servant à former le triangle rectangle ( voir page 223, note 1 ) p = r 2 ->- 1, q — 2r — 2.
La seconde règle à prendre, r et s étant premiers entre eux, p = r i --s i , ij - al r — s) s.
(2) Frenicle appelle ici côtés ou racines des quarrés les nombres servant à former le triangle rectangle, désignés par p et q dans la note précédente.
(3) Si l’on pose
r»-4-l
p = et q = r — 1 .
’ ■*. ’
el que l’on fasse q = 60, on aura
r = 6 1 , p = 1 86 1 .
Les trois autres proportions sont
(jo. >f) i ; 60, ’-><ig : 60. ’)-.
