Sint data duo puncta A, B (fig. 30), et preterea punctum E in eadem recta linea; recta vero data sit AB. Oportet invenire circuli circumferentiam, ut PIO, in qua sumendo quodlibet punctum, ut I, et lemittendo perpendicularem IR, quadratum AI æquetur rectangulo sub recta AB data et recta ER.
Rectangulum BAE ad rectam BA applicetur excedens figura quadrata et faciat latitudinem AP, cui fiat tqualis BO. Super PO descriptus semicirculus præstabit propositum.
Nam quadratum AI æquatur quadrato AR et quadrato RI; quadratum vero RI æquatur rectangulo PRO, et rectangulum PRO rectangulis ARB, OAP hoc est BPA hoc estBAE, ut mox demonstrabitur: quadratumn ergo AI æquatur quad rato AR, rectangulo ARB, et rectangulo BAE. Sive quadratum AI æquatur rectangulo BAR (nam huic rectangulo æquantur quadratum AR et rectangulum ARB) et rectangulo BAE; et adhuc hec duo rectangula faciunt unum rectangulum sub BA in ER, quod proinde quadrato AI est æquale.
Probandum superest rectangulum PRO duobus rectangulis ARB et PBO œquale esse. - Nam, ducendo inter se partes, rectangulum PRO est œquale singulis rectangulis PA in RB, PA in BO (hoc est BO quadrato), AR in RB, AR in BO (id est PA in AR). Sed duo, PA in AR et PA in RB, æquantur PA in AB, sive AB in BO; una cum BO quadrato, æquantur AOB hoc est PBO; ergo rectangulum ARB, una cum rectangulo PBO, facit rectangulum PRO. Quod erat demonstrandum.
Diversos casus non prosequor, sed ex jam dictis facillimum erit: videtur tamen alius hujus propositionis casus non omittendus, quando videlicet punctum E ultra A ut superius non invenitur.
Sint data duo puncta A et E (fig. 31), et recta data AB, et sit inve
