Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/75

et vicissim

EF erit ad differentiam rectarum IM, EH ut ED ad EV.

Erit igitur, convertendo,

differentia rectarum IM, ER ad EF in ratione data EV ad ED.

Ex constructione autem, expositis tribus EH, EF, MI, est

VE ad EH ut KE ad EM;

est etiam

KZ ad lMI in eadem ratione KE ad EM;

est etiam, quum KG sit parallela BA,

GE ad EF in eadem ratione KE ad EM,

Igitur tres rectte VE, KZ, EG sunt in ratione trium HE, MII, EF est igitur

ut differentia duarum EV, KZ ad EG, ita differentia duarum MI, EH ad EF.

Sed probavimus differentiam duarum MI, EH ad EF habere rationeln datam EV ad ED: igitur differentia duarum EV, KZ ad EG habebit rationem datam EV ad ED, et vicissim

differentia duarum EV, KZ ad EV erit ut EG ad ED,

et, componendo,

KZ erit ad EV ut GD ad ED.

Sed (propter parallelas KG, BA) KL Tequatur DG: igitur vicissim erit

ut KZ ad KL, ita EV ad ED,

quod quidem ita se habere jam ex ipsa constructione innotuerat.

Constat itaque veritas pulcherrimte propositionis, nec est difficilis aut absimilis ad ulteriores casus et quotlibet lineas porrigenda constructio et demonstratio. Semper enim, beneficio constructionis in duabus lineis, expedietur problcma in tribus lineis: beneficio constructionis in tribus lineis, expedietur problema in quatuor lineis: