Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/384

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Si ponatur, loco iN, numerus una cum 4 quadratum conficiens, verbi gratia, Q + 4N, fiet

primus numerorum wequandorum quadrato i Q + 4N - 4; secundus igitur erit 2Q - 8N -+4, terlius 5Q -+- 2N -- 4. Primus autem, ex constructione, est quadratus: ergo debent sequari quadrato

2Q-8N+4 et 5Q-+-2oN+4,et oritur duplicata aequalitas que unicam certe exhibebit solutionem ^[1], sed eai exhibita prodibit rursum nova, et a secundci tertia deducetur, et in infinitum.

Quod opus ita procedet ut, invento valore iN, rursus ponatulr 1N esse 1N + numero qui primurnm ipsi iN inventus est sequalis. Hac enim via infinitæ prioribus solutionibus solutiones accedent et postrema semper derivabitur a proxime antecedenti.

Hujus inventionis beneficio infinita triangula ejusdem areæ possumus exhibere ^[2], quod ipsum videtur latuisse Diophantum, ut patet ex quæstione octava Libri V, in qua tria tantum triangula qqualis arcæ investigat ut sequentem qucastionem in tribus numeris construat, qut ad infinitos, ex iis quse nos primi deteximus, recipit extensionem.

↑ D'apres les procedes de Diophante, cette solution s'obtient comme suit: Soit la double 6quation atx2 - bx -- c2 = â lt- X2 x- b'x -- c2 = p2, on en conclut ( - a' )x2 --- (b - b')x = t12 -v2 On satisfera a cette relation en posant a -â a' b-b 2 c -â t- ' X +2 C = +, ---- x = It- V. 2elb' ~2C t~,' 2C De ces deux equations on tirera la valeur de u ou de v, et, en substituant dans une des deux premieres, on obtiendra pour x une valeur rationnelle determinee.
↑ Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d'ailleurs a la pr6sente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.

[1] D'apres les procedes de Diophante, cette solution s'obtient comme suit: Soit la double 6quation atx2 - bx -- c2 = â lt- X2 x- b'x -- c2 = p2, on en conclut ( - a' )x2 --- (b - b')x = t12 -v2 On satisfera a cette relation en posant a -â a' b-b 2 c -â t- ' X +2 C = +, ---- x = It- V. 2elb' ~2C t~,' 2C De ces deux equations on tirera la valeur de u ou de v, et, en substituant dans une des deux premieres, on obtiendra pour x une valeur rationnelle determinee.

[2] Voir Observation XXIII. Fermat renvoie d'ailleurs a la pr6sente Observation XLIII dans les suivantes: VI, XVI, XXII, XXXI.

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