Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/368

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rectum sit 12N. Proinde et area areæ 12. Si autem 12 et 3. Hoc autem facile est et est simile huic 9. 40. 41. Alterum * 5. 12. 13. (* legendum est 8. 15. 17). Habentes ergo tria triangula rectangula, revertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quasitorum quadratorum, alterum 9, alterum 25, tertium 81, et si solidum ex his æquemus 1Q, fiet N rationalis. Ad positiones. *

τὴν ὀρθὴν ᾖ ςς ιβ. ὥστε ϰαὶ ἔμϐαδον ἐμϐάδου ιβ. εἰ δὲ ιβ ϰαὶ γ. τοῦτο δὲ ῥάδιον ϰαὶ ἔστιν ὅμοιον τῷ οθ (θ) μ. μα. τὸ δὲ ἕτερον <ε>. τβ. ιγ. ἔχοντες οὖν τα τρία τρίγωνα ὀρθογώνια ἐρχόμεθα εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς. τάσσομεν τῶν ζητουμένων τριῶν τετραγώνων, ὃν μὲν θ, ὃν δὲ ϰε, ὃν δὲ πα. ϰαὶ ἐὰν τὸν ἐϰ τῶν δ. ε στερεὸν ἰσώσωμεν δ^υ α. γενήσεται ὁ ς^δ ῥητός. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. *

Methodum Diophanti, quam non percepit Bachetus^[1], ita restituo et explico.

Quoniam primum triangulum est : 3, 4, 5, et rectangulum sub lateribus : 2, eo cleventum est, inquit Diophantus, ut inveniantur duo triangula ut productus ex lateribus circa rectum prodacti ex lateribus circa rectum sit duodecuplus ; et ratio est quia tune productus ex lateribus unius in productum ex lateribus alterius producet numerum qui erit planus similis 12, atque ideo eorum mutua multiplicatione fiet quadratus, quod vult propositio.

Sequitur Diophantus : Proinde et area areœ 12^[2], quod per se clarum est. Deinde : Si autem 12, et 3, quia, dividendo 12 per quadratunm 4, fit 3, et semper in multiplicatione oritur quadratum ; nam quadratum, divisum per quadratum, facit quadratum.

Reliqua Diophanti non priestant propositum, sed ita restituemus.

↑ Il s’agit de trouver trois triangles rectangles en nombres

(a_{1}b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2}),(a_{3},b_{3},c_{3})

tels que l’on ait,

a_{1},a_{2},a_{3}

étant les hypoténuses,

{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}

dans un rapport carré.

Prenant arbitrairement le triangle $(a_{1},b_{1},c_{1})$ , soit (5, 4, 3) dans l’exemple choisi, Bachet forme les triangles suivants, respectivement des nombres $a_{1},b_{1}$ et $a_{1},c_{1}$ , c’est-à-dire il pose de fait :

$a_{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2},$	$b_{2}=a_{1}^{2}-b_{1}^{2}=c_{1}^{2},$	$c_{2}=2a_{1}b_{1},$
$a_{3}=a_{1}^{2}+c_{1}^{2},$	$b_{3}=a_{1}^{2}-c_{1}^{2}=b_{1}^{2},$	$c_{3}=2a_{1}c_{1},$

${\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ =

\left({\frac {b_{1}}{2a_{1}}}\right)^{2}

.

Les deux triangles ainsi construits sont (41, 9, 40) et (34, 16, 30). Au lieu du second, il prend le semblable (17, 8, 15), le rapport restant le meme.

↑ Entendez duodecupla, et à la ligne suivante : Si autem duodecupla, et tripla.

[1] Il s’agit de trouver trois triangles rectangles en nombres $(a_{1}b_{1},c_{1}),(a_{2},b_{2},c_{2}),(a_{3},b_{3},c_{3})$ tels que l’on ait, $a_{1},a_{2},a_{3}$ étant les hypoténuses, ${\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ dans un rapport carré.

Prenant arbitrairement le triangle $(a_{1},b_{1},c_{1})$ , soit (5, 4, 3) dans l’exemple choisi, Bachet forme les triangles suivants, respectivement des nombres $a_{1},b_{1}$ et $a_{1},c_{1}$ , c’est-à-dire il pose de fait :

$a_{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2},$ $b_{2}=a_{1}^{2}-b_{1}^{2}=c_{1}^{2},$ $c_{2}=2a_{1}b_{1},$

$a_{3}=a_{1}^{2}+c_{1}^{2},$ $b_{3}=a_{1}^{2}-c_{1}^{2}=b_{1}^{2},$ $c_{3}=2a_{1}c_{1},$

${\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{c_{1}c_{2}c_{3}}}$ = $\left({\frac {b_{1}}{2a_{1}}}\right)^{2}$ .

Les deux triangles ainsi construits sont (41, 9, 40) et (34, 16, 30). Au lieu du second, il prend le semblable (17, 8, 15), le rapport restant le meme.

[2] Entendez duodecupla, et à la ligne suivante : Si autem duodecupla, et tripla.

[1]

[2]