(Ad quæstion. XXXV Libr. IV.)
Datum numerum dividere in tres numeros, ut qui fit primo in secundum ducto, sive addito tertio, sive detracto, quadratum faciat. Esto datus 6.
Ita facilius fiet operatio: Datus numerus 6 utcumque dividatur, verbi gratia in 5 et i. Productus dempta unitate, hoc est 4, per 6, datum numerum, dividatur: eveniet 2. Quem si turn a 5, tum ab 1 abstuleris, duo residua 13/3 et 1/3 erunt duae priores partes numeri dividendi; tertia igitur erit 4/3 [1].
(Ad commentarium in quæstion. XLIV Libr. IV.)
Quaestio. - Invenire tres numeros, ut compositus ex tribus multiplicatus in primum faciat triangulum, in secundum faciat quadratum, in tertium faciat cubum.
Bachetus. -... Adverte postremo, in fingendo latere ultimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, ut valor Numeri reperiatur in integris numeris, quum numerus triangulus non posset esse nisi integer. Id autem semper succedet operando modo a Diophanto tradito, si quadrati latus fingatur a tot Numeris qui sint latus quadratorum in numero quadrato æquando contentorum -. Cæterum vix aliter id fieri posse, satis experiendo deprehendes [2].
Experientiam non satis exactam fecit Bachetus. Sumatur quilibet
- ↑ La solution de Fermat, fondée sur une identité facile à reconnaître, est essentiellement différente de celle de Diophante.
- ↑ La solution de Diophante, avec les g6neralisations de Bachet, peut se representer comme suit. Soient x1, x2, X3 les trois nombres cherch6s. Posons X;1 + X2 ~ X3 =;X2 et 2(X + 1) B2 (3 XI - _ - X2 x3 X2 X' X2 il vient X- 2, -+ - q- Y3 Posons maintenant on a Z( 2 2- Z - d'ou l'on posera (2 +- I)2 ou I6Z2x2 â 82 -8 Y3 i =I- (4zX - )2 et 834-; 8^31 82-I 8z3 Mais il faut que x soit entier et, par consequent, que 8z --- 5 - ) le soit. Si l'on prend 8 =, comme la fait Diophante, et commo Bachet l'a cru n6cessaire, on peut prendre tout a fait arbitrairement les entiers z et y. Fermat prend z =, comme l'avait fait Diophante; il fait d'ailleurs, dans l'exemple qu'il choisit, Y=7, g=3.
