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XVII (p. 165).
(Ad question. XXIII Libr. IV.)

Invenire tres numeros, ut solidus sub ipsis contentus adscito quolibet ipsorum faciat quadratum.

Non solum absque lemmate Diophanti^[1], sed etiam absque duplicata æqualitate^[2], solvetur quœstio.

Ponatur solidum sub tribus 1Q-2N, primus numerorum sit unitas, secundus 2N.

Ita namque duobus partibus propositionis satisfit.

Pro tertio, dividatur solidum sub tribus, 1Q - 2N, per rectangu-

1. Soient x1, x2, X3 les trois nombres cherches. La solution de Diophante revient à poser $x_{1}=1,\ x_{1}x_{2}x_{3}=x^{2}+2x,\ x_{1}x_{2}x_{3}+x_{2}=(x+m)^{2}\ ;$

   
   d'où

   $x_{2}=2(m-1)x+m^{2},\ et\ {\frac {x^{2}+2x}{2(m-1)x+m^{2}}}$

   II reste ainsi à satisfaire à une dernière condition, à savoir que $x_{1}x_{2}x_{3}+x3$ soit carré. Le lemme employé par Diophante consiste de fait à déterminer m en sorte que x_3 soit linéaire en x, c'est-à-dire à satisfaire à la relation

   $2(m-1)={\frac {1}{2}}m^{2}\ ;$

   
   d'où

   $m=2\ et\ x_{2}={\frac {1}{2}}x,\ avec\ x_{2}=2x+4,$

   
   et enfin

   $x_{1}x_{2}x_{3}+x_{3}=x^{2}+{\frac {5}{2}}x,$expression qu'il est facile de rendre carrée. Il est aisé de voir que la solution de Fermat est au fond la même ; car on la retrouve, si l'on change x en N - 2.
2. L'emploi de la double équation tait indiqué par Bachet, d'apres la marche suivie par Diophante lui-même dans le problème suivant, qui ne diffère de celui-ci que parce que chacun des nombres cherchés doit être non pas ajouté, mais retranché du produit des trois, pour former les expressions à égaler à des carrés. Ici Bachet posait de fait $x_{1}=x,\ x_{2}=1,\ x_{3}=x-1,$

   
   et il ramenait le problème à la double équation

   $x^{2}-x+1=\alpha ^{2},\ x^{2}-1=\beta ^{2}.$